Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função f(x, y) = ln(3x + 2y²) / √(3x + 4y + 3)?
Understand the Problem
A questão está pedindo para identificar qual é o domínio da função dada, levando em consideração as restrições impostas pelas expressões dentro da função.
Answer
$ \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 3x + 4y + 3 > 0, \, 3x + 2y^2 > 0 \} $
Answer for screen readers
O domínio da função é: $ {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 3x + 4y + 3 > 0, , 3x + 2y^2 > 0 } $
Steps to Solve
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Identificação das condições da função A função ( f(x, y) = \frac{\ln(3x + 2y^2)}{\sqrt{3x + 4y + 3}} ) possui duas partes: o numerador ( \ln(3x + 2y^2) ) e o denominador ( \sqrt{3x + 4y + 3} ). Para que essa função esteja definida, precisamos analisar ambas as partes.
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Condição para o logaritmo Para que o logaritmo esteja definido, o argumento deve ser maior que zero: $$ 3x + 2y^2 > 0. $$
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Condição para a raiz quadrada Para que a raiz quadrada esteja definida, o argumento deve ser maior ou igual a zero. Como está no denominador, deve ser estritamente maior que zero: $$ 3x + 4y + 3 > 0. $$
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Condições finais Unindo as duas condições, temos que o domínio da função é dado pelos pares ( (x, y) ) que satisfazem:
- ( 3x + 2y^2 > 0 )
- ( 3x + 4y + 3 > 0 )
- Identificação da alternativa correta Agora, precisamos verificar quais das alternativas apresentadas satisfazem estas duas condições simultaneamente.
O domínio da função é: $ {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 3x + 4y + 3 > 0, , 3x + 2y^2 > 0 } $
More Information
As funções logarítmicas necessitam de um argumento positivo, enquanto as raízes quadradas requerem o valor dentro da raiz ser não-negativo. Isso implica que devemos sempre considerar essas condições ao determinar o domínio de uma função.
Tips
- Ignorar a condição do logaritmo ou considerar como zero, o que não é permitido.
- Usar o sinal de maior ou igual para a raiz quadrada, sendo que deve ser estritamente maior.
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