Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função f(x, y) = (10x - y) / ln(5x - y)?
Understand the Problem
A questão pede para identificar o domínio da função dada, que envolve uma expressão logarítmica, exigindo que analisemos as condições sob as quais a função é definida.
Answer
O domínio da função é \( \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y < 5x, y \neq 10x\} \).
Answer for screen readers
O domínio da função é $$ D(f) = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y < 5x, y \neq 10x} $$
Steps to Solve
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Identificando a função logarítmica Para a função ( f(x, y) = \frac{10x - y}{\ln(5x - y)} ) ser definida, o logaritmo no denominador deve ser positivo. Portanto, precisamos ter ( 5x - y > 0 ).
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Condição da função logarítmica A função logarítmica não pode ser zero nem negativa, ou seja, ( 5x - y > 0 ) é uma condição necessária. Então podemos reescrever isso como ( y < 5x ).
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Condição do denominador Além disso, o numerador também não pode ser zero, pois isso tornaria a função indefinida quando o denominador é infinito. Assim, devemos ter ( 10x - y \neq 0 ) ou ( y \neq 10x ).
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Reunindo as condições de domínio As duas condições para o domínio da função são:
- ( y < 5x )
- ( y \neq 10x )
O domínio da função é $$ D(f) = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y < 5x, y \neq 10x} $$
More Information
O domínio de funções envolvendo logaritmos é frequentemente limitado por restrições que asseguram que o argumento do logaritmo seja positivo, além de garantir que o denominador não se anule. Essa análise é crucial para a definição correta da função.
Tips
- Ignorar a condição do logaritmo: É comum esquecer que o argumento do logaritmo deve ser positivo.
- Não considerar o numerador: Muitas vezes os alunos não se atentam ao fato de que o numerador não pode ser zero se isso levar a uma indeterminação.
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