प्रश्न 13. y-अक्ष पर एक बिंदु P(0, y) और B(-4, 3) के बीच की दूरी PA = PB का पता लगाना है।

Steps to Solve

1. बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र

बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है: $$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ यहां, $P(0, y)$ और $B(-4, 3)$ हैं।

2. दूरी की गणना करना (PA)

बिंदु $P(0, y)$ और $B(-4, 3)$ के बीच की दूरी PA है: $$ PA = \sqrt{((-4) - 0)^2 + (3 - y)^2} $$ यानी: $$ PA = \sqrt{16 + (3 - y)^2} $$

3. दूरी की गणना करना (PB)

बिंदु $A(6, 5)$ और $B(-4, 3)$ के बीच की दूरी PB है: $$ PB = \sqrt{((-4) - 6)^2 + (3 - 5)^2} $$ जो होगी: $$ PB = \sqrt{(-10)^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104} $$

4. दूरी को समान करना

चूंकि PA = PB, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं: $$ \sqrt{16 + (3 - y)^2} = \sqrt{104} $$ अब, दोनों पक्षों को वर्ग करें: $$ 16 + (3 - y)^2 = 104 $$

5. समीकरण को हल करना

इस समीकरण को हल करने के लिए: $$ (3 - y)^2 = 104 - 16 $$ यानि: $$ (3 - y)^2 = 88 $$ अब, दोनों पक्षों का वर्गमूल लें: $$ 3 - y = \pm \sqrt{88} $$ $$ y = 3 \mp \sqrt{88} $$

6. $y$ के मान निकालना

यहां, $\sqrt{88} = 2\sqrt{22}$ है। इसलिए, $y$ के दो मान होंगे: $$ y = 3 + 2\sqrt{22} \quad \text{और} \quad y = 3 - 2\sqrt{22} $$