पहली n प्राकृतिक संख्याओं का औसत 243 है। पहली 3n प्राकृतिक संख्याओं का औसत क्या होगा? पहली n प्राकृतिक संख्याओं का औसत 243 है। पहली 3n प्राकृतिक संख्याओं का औसत क्या होगा? Read more

Steps to Solve

1. पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं का औसत निकालना

पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं की गणना की जाती है: $1, 2, 3, \ldots, n$।

$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$

इनका औसत होगा:

$$ \text{Average} = \frac{S_n}{n} = \frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n} = \frac{(n + 1)}{2} $$

यदि औसत $243$ है:

$$ \frac{(n + 1)}{2} = 243 $$

2. $n$ की गणना करना

इस समीकरण को हल करते हैं:

$$ n + 1 = 243 \times 2 $$

$$ n + 1 = 486 $$

तो,

$$ n = 486 - 1 = 485 $$

3. पहले $3n$ प्राकृतिक संख्याओं का औसत निकालना

पहले $3n$ प्राकृतिक संख्याओं को भी इसी तरह से लेते हैं: $1, 2, 3, \ldots, 3n$।

इनका योग होगा:

$$ S_{3n} = \frac{3n(3n + 1)}{2} $$

इनका औसत होगा:

$$ \text{Average} = \frac{S_{3n}}{3n} = \frac{\frac{3n(3n + 1)}{2}}{3n} = \frac{(3n + 1)}{2} $$

4. औसत की गणना करना

अब, $n = 485$ को $3n$ में डालते हैं:

$$ 3n = 3 \times 485 = 1455 $$

तो औसत होगा:

$$ \text{Average} = \frac{(3 \times 485 + 1)}{2} = \frac{(1455 + 1)}{2} = \frac{1456}{2} = 728 $$