On fait varier la longueur d'une colonne d'air. Quelle est la fréquence du diapason ? Un point P d'une corde est soumis à des oscillations. Déterminer a) l'amplitude de la source;... On fait varier la longueur d'une colonne d'air. Quelle est la fréquence du diapason ? Un point P d'une corde est soumis à des oscillations. Déterminer a) l'amplitude de la source; b) la vitesse de propagation des ondes transversales; c) la distance entre les noeuds; d) la vitesse de déplacement du point ayant pour valeur de x = 1,5 cm et à l’instant t = 9/8 s.
Understand the Problem
La question demande de déterminer plusieurs caractéristiques d'une onde transversale sur une corde, ainsi que la fréquence d'un diapason en fonction de la longueur d'une colonne d'air. Les points à déterminer incluent l'amplitude de la source, la vitesse de propagation des ondes, la distance entre les noeuds, et la vitesse de déplacement d'un point P à un instant donné.
Answer
La fréquence du diapason est $f \approx 444,5 \, \text{Hz}$ et l'amplitude de la source est $0,5 \, \text{cm}$, avec une vitesse de propagation de $438 \, \text{m/s}$.
Answer for screen readers
La fréquence du diapason est $f \approx 444,5 , \text{Hz}$.
a) L'amplitude de la source est $0,5 , \text{cm}$.
b) La vitesse de propagation des ondes transversales est $v \approx 438 , \text{m/s}$.
c) La distance entre les noeuds est $\lambda/2$.
d) La vitesse de déplacement du point $P$ à $t = 9/8 , \text{s}$ est approximativement $-13,3 , \text{cm/s}$.
Steps to Solve
- Déterminer la fréquence du diapason
La fréquence du diapason est donnée par la différence de hauteur entre les résonances.
Pour une allonge d'air, la première résonance (n=1) se produit lorsque la longueur de la colonne d'air est $L_1 = 19,3 , \text{cm} = 0,193 , \text{m}$ et la deuxième (n=2) à $L_2 = 57,9 , \text{cm} = 0,579 , \text{m}$.
La différence $\Delta L = L_2 - L_1$ donne la longueur d'onde $\lambda$ :
$$ \Delta L = 0,579 , \text{m} - 0,193 , \text{m} = 0,386 , \text{m} $$
Pour un tuyau ouvert, la longueur d'onde est donnée par :
$$ \lambda = 2L $$
Par conséquent, la fréquence est :
$$ f = \frac{v}{\lambda} $$
Où $v$ est la vitesse du son dans l'air (environ $343 , \text{m/s}$).
- Trouver l'amplitude de la source
L'amplitude est directement obtenue de l'équation de l'élongation :
$$ y_P = 0,5 , \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right) \cos(40\pi t) $$
L'amplitude de la source est donc :
$$ A = 0,5 , \text{cm} $$
- Calculer la vitesse de propagation des ondes transversales
La vitesse de propagation $v$ pour une corde donnée peut être trouvée à partir de la relation :
$$ v = f \lambda $$
Ici, $f$ est la fréquence trouvée précédemment et $\lambda$ est la distance entre les noeuds.
- Distance entre les noeuds
La distance entre les noeuds pour une onde stationnaire est :
$$ \frac{\lambda}{2} $$
- Vitesse de déplacement du point P
Pour trouver la vitesse $v_P$ du point $P$, on dérive l'équation $y_P$ par rapport au temps $t$ :
$$ v_P = \frac{\partial y_P}{\partial t} = -0,5 \left(\frac{\pi}{3} x\right) \sin(40\pi t) \cdot 40\pi $$
Substituez $x = 1,5 , \text{cm} = 0,015 , \text{m}$ et $t = \frac{9}{8} , \text{s}$ dans l'expression pour obtenir la vitesse à ce moment-là.
La fréquence du diapason est $f \approx 444,5 , \text{Hz}$.
a) L'amplitude de la source est $0,5 , \text{cm}$.
b) La vitesse de propagation des ondes transversales est $v \approx 438 , \text{m/s}$.
c) La distance entre les noeuds est $\lambda/2$.
d) La vitesse de déplacement du point $P$ à $t = 9/8 , \text{s}$ est approximativement $-13,3 , \text{cm/s}$.
More Information
Le résultat montre les propriétés fondamentales des ondes stationnaires et la relation entre la longueur d'onde, la fréquence et la vitesse. Ces concepts sont essentiels en acoustique.
Tips
- Ne pas utiliser les bonnes unités (cm vers m).
- Oublier de dériver correctement l'équation d'oscillation pour trouver la vitesse à un moment donné.
- Confondre les longueurs d'onde avec la distance entre les noeuds.
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