O carro A sai da origem das coordenadas x em t = 0 s do repouso no sentido x positivo. O carro B percorre o eixo x no mesmo sentido do carro A e passa pela origem em t = 3,0 s com... O carro A sai da origem das coordenadas x em t = 0 s do repouso no sentido x positivo. O carro B percorre o eixo x no mesmo sentido do carro A e passa pela origem em t = 3,0 s com velocidade escalar constante igual a 20 m/s. A aceleração do carro A é constante e vale 3,0 m/s². Calcule o instante t1 em que B ultrapassa A, se houver, e o instante t2 em que A ultrapassa B, se houver. Read more

Steps to Solve

1. Determinar a posição do carro A O carro A parte do repouso, então sua posição $x_A(t)$ ao longo do tempo é dada pela fórmula de movimento uniformemente acelerado: $$ x_A(t) = \frac{1}{2} a_A t^2 $$ onde $a_A = 3,0 , \text{m/s}^2$. Portanto: $$ x_A(t) = \frac{1}{2} \cdot 3,0 \cdot t^2 = 1,5t^2 $$

2. Determinar a posição do carro B Carro B parte de uma posição inicial na origem em $t = 3, \text{s}$, com uma velocidade constante de 20 m/s. Para encontrar sua posição $x_B(t)$, usamos: $$ x_B(t) = v_B (t - t_0) $$ onde $t_0 = 3 , \text{s}$, logo: $$ x_B(t) = 20(t - 3) = 20t - 60 \quad \text{(para } t \geq 3 \text{ s)} $$

3. Encontrar o instante t1 em que B ultrapassa A Para encontrar o instante em que B ultrapassa A, igualamos suas posições: $$ 1,5t^2 = 20t - 60 $$ Reorganizando, temos: $$ 1,5t^2 - 20t + 60 = 0 $$

4. Resolver a equação quadrática Usamos a fórmula de Bhaskara: $$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ onde $a = 1,5$, $b = -20$, $c = 60$: $$ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1,5 \cdot 60 = 400 - 360 = 40 $$ Então: $$ t = \frac{20 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1,5} $$

5. Calcular t1 Calculando: $$ t = \frac{20 \pm 6.32}{3} \approx 8.11 , \text{s} \quad \text{(considerando apenas a raiz positiva)} $$

6. Encontrar o instante t2 em que A ultrapassa B Para encontrar o instante em que A ultrapassa B, igualamos novamente as posições já conhecidas: $$ 20t - 60 = 1,5t^2 $$ Reorganizando: $$ 1,5t^2 - 20t + 60 = 0 $$ Perceba que a equação é a mesma, apenas invertendo o sentido.

7. Calcular t2 A solução será diferente, pois A acelerou, então analisamos diferente a equação: Com a mesma técnica, obtemos: $$ D = 400 - 360 = 40 $$ Os instantes continuam os mesmos.