Montrer que le terme général de la suite de Fibonacci est donné par la formule F_n = 1/√5 ((1 + √5)/2)^n - (1 - √5)/2)^n.

Steps to Solve

1. Définition et caractéristiques de la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est définie par :

• $F_0 = 0$
• $F_1 = 1$
• Pour $n \geq 2$, $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$.

2. Calcul des premiers termes

Calculons quelques termes pour vérifier la récurrence :

• $F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1$
• $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$
• $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$
• $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$

Les premiers termes sont donc : 0, 1, 1, 2, 3, 5, ...

3. Formule générale de Binet

Démontrons la formule générale. On utilise la forme de Binet : $$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right) $$

4. Expression des racines caractéristiques

Identifions les racines caractéristiques de l'équation :

• Soit $x^2 = x + 1$, les racines sont $r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $r_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

5. Utilisation de la récurrence

Utilisons la formule avec ces racines. Vérifions si $F_n$ satisfait bien la relation de récurrence :

• En remplaçant $F_n$, $F_{n-1}$ et $F_{n-2}$ dans l'équation de récurrence, on doit obtenir $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$.

6. Vérification des conditions initiales

Assurons-nous que les valeurs pour $n=0$ et $n=1$ sont correctes :

• Pour $n=0$: $$ F_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^0 - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^0 \right) = \frac{1}{\sqrt{5}}(1 - 1) = 0 $$
• Pour $n=1$: $$ F_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^1 - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^1 \right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) = 1 $$