Lema 2.6 (Desigualdad de Gronwall generalizada). Supongamos que ψ(t) satisface ψ(t) ≤ α(t) + ∫₀ᵗ β(s)ψ(s)ds, t ∈ [0,T], con β(t) ≥ 0. Entonces se tiene ψ(t) ≤ α(t) + ∫₀ᵗ α(s)β(s) e... Lema 2.6 (Desigualdad de Gronwall generalizada). Supongamos que ψ(t) satisface ψ(t) ≤ α(t) + ∫₀ᵗ β(s)ψ(s)ds, t ∈ [0,T], con β(t) ≥ 0. Entonces se tiene ψ(t) ≤ α(t) + ∫₀ᵗ α(s)β(s) exp(∫₀ˢ β(r)dr) ds, t ∈ [0,T]. Si además α es creciente entonces se tiene ψ(t) ≤ α(t) exp(∫₀ᵗ β(s)ds), t ∈ [0,T].
Understand the Problem
La pregunta se refiere a la desigualdad de Gronwall generalizada y cómo se aplica en un contexto específico. Se busca entender la relación entre las funciones ψ(t), α(t) y β(t), así como las condiciones que permiten despejar ψ(t).
Answer
$$\psi(t) \leq \alpha(t) \exp\left( \int_0^t \beta(s) ds \right), \quad t \in [0, T].$$
Answer for screen readers
La desigualdad final es: $$ \psi(t) \leq \alpha(t) \exp\left( \int_0^t \beta(s) ds \right), \quad t \in [0, T]. $$
Steps to Solve
- Identificar la desigualdad inicial
La desigualdad dada es: $$ \psi(t) \leq \alpha(t) + \int_0^t \beta(s) \psi(s) ds, \quad t \in [0,T]. $$ Esto establece la relación entre $\psi(t)$, $\alpha(t)$, y la integral que involucra a $\beta(s)$.
- Sustitución en la desigualdad
Sustituimos $\psi(s)$ por su límite superior en la integral. Usamos la hipótesis de la desigualdad inicial para obtener: $$ \psi(t) \leq \alpha(t) + \int_0^t \beta(s) \left( \alpha(s) + \int_0^s \beta(r) \psi(r) dr \right) ds. $$
- Reorganizar la integral
Al reorganizar, obtenemos: $$ \psi(t) \leq \alpha(t) + \int_0^t \beta(s) \alpha(s) ds + \int_0^t \beta(s) \left(\int_0^s \beta(r) \psi(r) dr \right) ds. $$
- Uso de la exponencial
Utilizando la función exponencial, logramos la nueva forma: $$ \psi(t) \leq \alpha(t) + \int_0^t \alpha(s) \beta(s) \exp\left( \int_0^s \beta(r) dr \right) ds. $$
- Condición adicional de creciente
Si $\alpha(t)$ es creciente, podemos utilizar que $\alpha(s)$ es mayor que o igual a $\alpha(t)$ para $s \leq t$, y así obtenemos la forma final: $$ \psi(t) \leq \alpha(t) \exp\left( \int_0^t \beta(s) ds \right). $$
La desigualdad final es: $$ \psi(t) \leq \alpha(t) \exp\left( \int_0^t \beta(s) ds \right), \quad t \in [0, T]. $$
More Information
Este resultado generaliza las desigualdades previamente conocidas, proporcionando un enfoque para limitar la función $\psi(t)$ en términos de $\alpha(t)$ y la función exponencial relacionada con $\beta(t)$. Tal desigualdad es de particular importancia en el análisis de la estabilidad en ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos.
Tips
- Olvidar la condición de crecimiento: Es fundamental recordar la hipótesis de que $\alpha(t)$ es creciente al aplicar la parte final de la desigualdad.
- No reorganizar correctamente las integrales: Asegúrate de manipular las integrales adecuadamente al intercambiar los límites y los términos.
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