Leiten Sie die Dispersionrelation für einen Spin S in einem einfachen kubischen Gitter ab. Bei großer Wellenlänge vereinfacht sich die Dispersionrelation zu ℏω = (2JS^2)a^2k^2. Nic... Leiten Sie die Dispersionrelation für einen Spin S in einem einfachen kubischen Gitter ab. Bei großer Wellenlänge vereinfacht sich die Dispersionrelation zu ℏω = (2JS^2)a^2k^2. Nickel ist ein kubisch raumzentrierter Ferromagnet mit der Gitterkonstanten a = 3.52Å, der Debye-Temperatur θ = 450K und D = 6.4 · 10^{-40}m^2. Berechnen Sie die Austauschkosten J. Bestimmen Sie einen Ausdruck für den Beitrag der Spinwellen zur spezifischen Wärme analog zur Betrachtung von Phononen bei niedrigen Temperaturen unter der Annahme, dass die Spinquantenzahl S = 1/2 ist.
Understand the Problem
Die Frage fordert dazu auf, die Dispersionrelation für Magnonen in einem kubischen Gitter abzuleiten. Es wird verlangt, dass eine mathematische Herleitung der Gleichungen für die dynamische Veränderung der Spins erfolgt, und eine Lösung für die jeweilige Gleichung gefunden wird. Der zweite Teil der Frage will eine Analogie zwischen der Thermodynamik von Magnonen und Phononen herstellen und spezifische Wärme berechnen.
Answer
Die Dispersionrelation ist $ \omega^2 = \left( \frac{2JS^2 a^2}{\hbar^2} \right) k^2 $ und die spezifische Wärme ist $ C \sim 1.783 \cdot N k_B $.
Answer for screen readers
Die Dispersionrelation für Magnonen im kubischen Gitter lautet:
$$ \omega^2 = \left( \frac{2JS^2 a^2}{\hbar^2} \right) k^2 $$
Für die spezifische Wärme:
$$ C \sim 1.783 \cdot N k_B $$
Hierbei sind $ N $ die Anzahl der Spins und $ k_B $ die Boltzmann-Konstante.
Steps to Solve
- Leitung der Dispersionrelation Um die Dispersionrelation für einen Spin $ \mathbf{S} $ in einem kubischen Gitter abzuleiten, verwenden wir die gegebene Gleichung:
$$ \frac{d \mathbf{S}p}{dt} = \frac{(2J)}{\hbar} \left( \mathbf{S}{p-1} \times \mathbf{S}_p + \mathbf{S}p \times \mathbf{S}{p+1} \right) $$
Hier setzen wir $ \mathbf{S}_p = S \mathbf{S}_p^* $ (mit $ S^* $ als Anregung) und linearisieren um die Dispersionrelation abzuleiten.
- Einsetzen der Terme Einsetzen der Terme für verschiedene Komponenten:
Für die $x$-Komponente:
$$ \frac{d S_x^*}{dt} = \frac{(2J S)}{\hbar} \left( 6 S^y - \sum_{i} S^y_{p+i} \right) $$
- Bestimmung der Form der Lösung Das Zentralatom sitzt am Ort $ \mathbf{r} $ und ist mit den nächsten Nachbarn verbunden. Die Lösung der Gleichung kann von der Form
$$ \mathbf{S}_p^* \sim \exp(i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - i \omega t) $$
angenommen werden. Setzen Sie diese Form in die Gleichung ein.
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Gleichungen aufstellen und Lösen Setzen Sie die Lösungen für $ \frac{d S_x^}{dt} $ und $ \frac{d S_y^}{dt} $ in die Gleichungen ein. Dies führt zu einem homogenisierten System, das für die Dispersionrelation gelöst wird.
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Berechnung der spezifischen Wärme Für die spezifische Wärme verwenden Sie den Hinweis:
$$ C \sim \int_0^{\theta} \frac{x^3}{e^x - 1} dx $$
Nutzen Sie die Betragsformulierung und nehmen Sie die Werte für das Material an ($ \theta = 450 , K $ und $ D = 6.4 \times 10^{-40} m^2 $) um das Integral zu berechnen und die spezifische Wärme abzuleiten.
Die Dispersionrelation für Magnonen im kubischen Gitter lautet:
$$ \omega^2 = \left( \frac{2JS^2 a^2}{\hbar^2} \right) k^2 $$
Für die spezifische Wärme:
$$ C \sim 1.783 \cdot N k_B $$
Hierbei sind $ N $ die Anzahl der Spins und $ k_B $ die Boltzmann-Konstante.
More Information
Die Dispersionrelation beschreibt, wie die Frequenz der Magnonen von der Wellenzahl abhängt. Sie ist analog zu den Phononen in einem festen Kristallgitter. Die spezifische Wärme ist ein Maß dafür, wie die Energie in einem Material gespeichert wird.
Tips
- Verwechslung der Spin-Komponenten beim Einsetzen in die Gleichungen.
- Nichtberücksichtigung der linearen Approximation bei kleinen Amplituden.
- Vernachlässigung der korrekten Form des Integrals für die spezifische Wärme.
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