La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 313. Halla dichos números.

Steps to Solve

1. Definir las variables Sea $n$ el primer número entero. Entonces, el siguiente número entero consecutivo se puede expresar como $n + 1$.

2. Plantear la ecuación La suma de los cuadrados de estos dos números es igual a 313, por lo que podemos plantear la siguiente ecuación: $$ n^2 + (n + 1)^2 = 313 $$

3. Expandir la ecuación Expandimos el cuadrado del segundo término: $$ n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 313 $$

4. Combinar términos Sumamos los términos similares en la ecuación: $$ 2n^2 + 2n + 1 = 313 $$

5. Simplificar la ecuación Restamos 313 de ambos lados: $$ 2n^2 + 2n + 1 - 313 = 0 $$ $$ 2n^2 + 2n - 312 = 0 $$

6. Dividir por 2 Simplificamos dividiendo toda la ecuación entre 2: $$ n^2 + n - 156 = 0 $$

7. Resolver la ecuación cuadrática Usamos la fórmula cuadrática, donde $a = 1$, $b = 1$, y $c = -156$: $$ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ $$ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 624}}{2} $$

8. Calcular el discriminante Ahora calculamos el discriminante: $$ n = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{2} $$ $$ n = \frac{-1 \pm 25}{2} $$

9. Encontrar las soluciones Calculamos las dos posibles soluciones:

   • $n = \frac{24}{2} = 12$
   • $n = \frac{-26}{2} = -13$

10. Determinar los números consecutivos Si $n = 12$, los números son 12 y 13. Si $n = -13$, los números son -13 y -12.