In un triangolo rettangolo un cateto supera l'altro cateto di 3 cm, sapendo che l'ipotenusa misura 15cm, il cateto minore del triangolo misura?

Steps to Solve

1. Identificare le variabili Sia $a$ il cateto minore e $b$ il cateto maggiore. Dato che un cateto supera l'altro di 3 cm, possiamo scrivere: $$ b = a + 3 $$

2. Applicare il teorema di Pitagora Secondo il teorema di Pitagora, abbiamo: $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ dove $c$ è l'ipotenusa (15 cm). Sostituendo $b$ nella formula, otteniamo: $$ a^2 + (a + 3)^2 = 15^2 $$

3. Sviluppare l'equazione Espandiamo l'equazione: $$ a^2 + (a^2 + 6a + 9) = 225 $$ Raggruppando i termini: $$ 2a^2 + 6a + 9 = 225 $$

4. Risolvere l'equazione quadratica Spostiamo 225 a sinistra: $$ 2a^2 + 6a - 216 = 0 $$ Dividiamo per 2 per semplificare: $$ a^2 + 3a - 108 = 0 $$

5. Calcolare il discriminante Il discriminante $D$ dell'equazione quadratica è: $$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441 $$

6. Trovare le radici Usiamo la formula quadratica: $$ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ Sostituendo i valori: $$ a = \frac{-3 \pm \sqrt{441}}{2(1)} $$ Possiamo calcolare $\sqrt{441}$: $$ \sqrt{441} = 21 $$ Quindi: $$ a = \frac{-3 + 21}{2} \quad \text{o} \quad a = \frac{-3 - 21}{2} $$ Calcoliamo i risultati: $$ a = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{(positivo)} $$ $$ a = \frac{-24}{2} = -12 \quad \text{(non valido)} $$