In ∆ABC is hoek ∠A = 50,79° en ∠B = 42,6°, maak gebruik van 'n sakrekenaar en bepaal elk van die volgende: 1) cosA + cosB 2) 1/cotA 3) Bepaal θ as: cosθ = 0,8 3 sin(θ + 10°) = 3/2... In ∆ABC is hoek ∠A = 50,79° en ∠B = 42,6°, maak gebruik van 'n sakrekenaar en bepaal elk van die volgende: 1) cosA + cosB 2) 1/cotA 3) Bepaal θ as: cosθ = 0,8 3 sin(θ + 10°) = 3/2 4) Bereken ∠A in ∆ABC. 5) Bereken die lengte van PR in ∆PQR.
Understand the Problem
De vraag vraagt om het berekenen van verschillende hoeken en lengtes in de driehoeken ABC en PQR met gebruik van trigonometrische functies en formules. We zullen de gegeven waarden gebruiken om de hoeken en lengtes te berekenen.
Answer
$$ \angle C \approx 86,61^\circ, PR \approx 2,84cm $$
Answer for screen readers
De waarde van $\cos A + \cos B$ en $\frac{1}{\cot A}$ zijn respectievelijk:
$$ \cos A + \cos B \approx 0,64 + 0,73 \approx 1,37 $$
$$ \frac{1}{\cot A} \approx 1,25 $$
De waarde van $\theta$ zijn:
$$ \theta \approx 20^\circ \text{ of } 140^\circ $$
De waarde van $\angle C$ is:
$$ \angle C \approx 86,61^\circ $$
De lengte van $PR$ in $\triangle PQR$:
$$ PR \approx \frac{4cm \cdot \sin(20^\circ)}{\sin(33,7^\circ)} \approx 2,84cm $$
Steps to Solve
- Bereken de waarde van $\cos A + \cos B$
Gebruik de gegeven hoeken in de driehoek $\triangle ABC$:
- $\angle A = 50,79^\circ$
- $\angle B = 42,6^\circ$
Bereken de cosinuswaarden:
$$ \cos A = \cos(50,79^\circ) $$ $$ \cos B = \cos(42,6^\circ) $$
Tel beide waarden bij elkaar op:
$$ \cos A + \cos B $$
- Bereken de waarde van $\frac{1}{\cot A}$
Gebruik de cotangensfunctie:
$$ \cot A = \frac{1}{\tan(50,79^\circ)} $$
Daarom geldt:
$$ \frac{1}{\cot A} = \tan(50,79^\circ) $$
- Bereken $\theta$ wanneer $\cos \theta = 0,8$
De waarde van $\theta$ kan worden berekend met de inverse cosinus:
$$ \theta = \cos^{-1}(0,8) $$
- Bepaal $\theta$ vanuit de vergelijking $3 \sin(\theta + 10^\circ) = \frac{3}{2}$
Eerst, vereenvoudig de vergelijking:
$$ \sin(\theta + 10^\circ) = \frac{1}{2} $$
De mogelijke waarden voor $\theta + 10^\circ$ zijn:
$$ \theta + 10^\circ = 30^\circ \text{ of } 150^\circ $$
Dus:
$$ \theta = 30^\circ - 10^\circ \text{ of } \theta = 150^\circ - 10^\circ $$
Dit geeft:
$$ \theta = 20^\circ \text{ of } \theta = 140^\circ $$
- Bereken $\angle A$ in $\triangle ABC$
De som van de interne hoeken in een driehoek is $180^\circ$:
$$ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B $$
Vervang de waarden:
$$ \angle C = 180^\circ - 50,79^\circ - 42,6^\circ $$
- Bereken de lengte van $PR$ in $\triangle PQR$
Gebruik de sinusregel. Eerst, vind $\angle Q$:
$$ \angle Q = 90^\circ - 33,7^\circ $$
Nu met de sinusregel:
$$ \frac{PR}{\sin(\angle P)} = \frac{4cm}{\sin(33,7^\circ)} $$
Daarom:
$$ PR = \frac{4cm \cdot \sin(\angle P)}{\sin(33,7^\circ)} $$
De waarde van $\cos A + \cos B$ en $\frac{1}{\cot A}$ zijn respectievelijk:
$$ \cos A + \cos B \approx 0,64 + 0,73 \approx 1,37 $$
$$ \frac{1}{\cot A} \approx 1,25 $$
De waarde van $\theta$ zijn:
$$ \theta \approx 20^\circ \text{ of } 140^\circ $$
De waarde van $\angle C$ is:
$$ \angle C \approx 86,61^\circ $$
De lengte van $PR$ in $\triangle PQR$:
$$ PR \approx \frac{4cm \cdot \sin(20^\circ)}{\sin(33,7^\circ)} \approx 2,84cm $$
More Information
De sinusregel en de som van de interne hoeken in een driehoek zijn cruciale concepten in de trigonometrie. Dit probleem benadrukt toepassingen van deze concepten in het oplossen van driehoeken.
Tips
- Het verwarren van hoeken en hun complementen. Vergeet niet dat hoeken in een driehoek bij elkaar optellen tot $180^\circ$.
- Onjuiste gebruik van de rechthoekige driehoek eigenschappen bij het toepassen van de sinusregel.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
