(i) P(A ∩ B) तथा (ii) P(A ∪ B) का मान ज्ञात कीजिए। निम्नलिखित सभी प्रश्नों को हल कीजिए: (क) वक्र ay² = x³ के बिंदु (am², am³) पर प्रवणता ज्ञात कीजिए। (ख) दर्शाएँ कि बिंदु A(2, 3, 4... (i) P(A ∩ B) तथा (ii) P(A ∪ B) का मान ज्ञात कीजिए। निम्नलिखित सभी प्रश्नों को हल कीजिए: (क) वक्र ay² = x³ के बिंदु (am², am³) पर प्रवणता ज्ञात कीजिए। (ख) दर्शाएँ कि बिंदु A(2, 3, 4), B(-1, -2, -1) तथा C(5, 8, 7) संग्रह हैं। (ग) ∫ √(5 + 2x + x²) dx का मान ज्ञात कीजिए। (घ) यदि y = x^r तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
Understand the Problem
इस प्रश्न में हमें सेट थ्योरी में दो सेटों A और B का इंटरसेक्शन और यूनियन का संभावना मान निकालने के लिए कहा जा रहा है। इसके अलावा, एक वक्र की विशेषता और एक दिए गए वक्र के लिए सदिश गुणांक की गणना करने के लिए भी कहा गया है। इसमें दिए गए गणितीय प्रश्नों का हल करने की आवश्यकता है।
Answer
1. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 2. $y' = \frac{3}{2\sqrt{\frac{x^3}{a}}} \cdot x^{1/2}$ 3. बिंदु एक सेट हैं। 4. $\int \sqrt{5 + 2x + x^2} \, dx = \frac{1}{3}(x+1)\sqrt{(x+1)^2 + 4} + C$ 5. $dy/dx = r x^{r-1}$
Answer for screen readers
- $P(A \cap B)$ और $P(A \cup B)$ का मान जानने के लिए हमें $P(A)$, $P(B)$, और $P(A \cap B)$ की आवश्यकता है।
- वक्र $y = \sqrt{\frac{x^3}{a}}$ पर प्रवणता $y' = \frac{3}{2\sqrt{\frac{x^3}{a}}} \cdot x^{1/2}$ है।
- बिंदु $A$, $B$ और $C$ एक सेट बनाते हैं।
- $\int \sqrt{5 + 2x + x^2} , dx = \frac{1}{3}(x+1)\sqrt{(x+1)^2 + 4} + C$।
- $dy/dx = r x^{r-1}$।
Steps to Solve
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Probability of Intersection and Union मान लीजिए, हमें $P(A)$, $P(B)$, और $P(A \cap B)$ के मान दिए गए हैं। हम $P(A \cup B)$ का मान निकालने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$ स्थापत्य अनुसार $P(A \cap B)$ का मान निकाल लें।
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Finding Slope of the Curve वक्र $ay^2 = x^3$ को $y$ के लिए हल करें। इसे इस तरह से लिखें: $$ y = \sqrt{\frac{x^3}{a}} $$ अब, $x = am^2$ पर प्रवणता निकालें। इसके लिए हमें $y$ का व्युत्पन्न $y'$ निकालना होगा।
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Compute the Slope at a Given Point उसके बाद, $x = am^2$ के लिए व्युत्पन्न मान लें और उस बिंदु पर प्रवणता ज्ञात करें।
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Showing Points Form a Set बिंदु $A(2, 3, 4)$, $B(-1, -2, -1)$ और $C(5, 8, 7)$ को प्रदर्शित करते हुए, सुनिश्चित करें कि ये बिंदुओं का एक सेट हैं। एक सेट का मतलब है कि ये बिंदु ज़्यादा समान हैं और विशिष्ट हैं।
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Evaluating the Integral $$ \int \sqrt{5 + 2x + x^2} , dx $$ Integral का हल करने के लिए, इसे सरल बनाने के उपायों का उपयोग करें। जैसे इसे पूर्ण वर्ग में रूपांतरित करना। $$ 5 + 2x + x^2 = (x+1)^2 + 4 $$ फिर इसे हल करें।
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Finding Derivative यदि $y = x^r$, तो $dy/dx$ निकालने के लिए, $ \frac{dy}{dx} = r x^{r-1} $ का उपयोग करें।
- $P(A \cap B)$ और $P(A \cup B)$ का मान जानने के लिए हमें $P(A)$, $P(B)$, और $P(A \cap B)$ की आवश्यकता है।
- वक्र $y = \sqrt{\frac{x^3}{a}}$ पर प्रवणता $y' = \frac{3}{2\sqrt{\frac{x^3}{a}}} \cdot x^{1/2}$ है।
- बिंदु $A$, $B$ और $C$ एक सेट बनाते हैं।
- $\int \sqrt{5 + 2x + x^2} , dx = \frac{1}{3}(x+1)\sqrt{(x+1)^2 + 4} + C$।
- $dy/dx = r x^{r-1}$।
More Information
संकलन और व्युत्पत्ति का उपयोग करना सेट थ्योरी और कलन में महत्वपूर्ण है। व्युत्पत्ति हमें गति की जानकारी देती है और संकलन क्षेत्रों के अंडर क्षेत्र का मान निकालती है।
Tips
- Probability Calculation: $P(A \cup B)$ निकालते समय $P(A \cap B)$ की सही मान लेना आवश्यक है; गलती से इसे छोड़ना नहीं चाहिए।
- Finding Slope: वक्र की प्रवणता निकालते समय व्युत्पन्न को गलत तरीके से निकालना।
- Integral Evaluation: पूर्ण वर्ग पहचानने में गलती।
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