실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x) = |x - 2| + ax + 3 이 일대일 대응이 되도록 하는 실수 a의 값의 범위를 구하시오.
Understand the Problem
문제는 주어진 함수의 특정 실수 a의 범위를 구하는 것입니다. 주어진 함수는 절댓값과 다항식으로 구성되어 있으며, a가 어떤 조건을 만족해야 하는지 알아보는 문제입니다.
Answer
$a > 1$
Answer for screen readers
실수 $a$의 범위는 $a > 1$입니다.
Steps to Solve
- 주어진 함수 정리하기
함수는 다음과 같습니다: $$ f(x) = |x - 2| + ax + 3 $$
- 절댓값 분리 및 함수 구간 나누기
절댓값 함수로 인해 $x - 2$의 값에 따라 두 가지 경우로 나누어야 합니다.
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경우 1: $x - 2 \geq 0$ (즉, $x \geq 2$일 때) $$ f(x) = (x - 2) + ax + 3 = (1 + a)x + 1 $$
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경우 2: $x - 2 < 0$ (즉, $x < 2$일 때) $$ f(x) = -(x - 2) + ax + 3 = (-1 + a)x + 5 $$
- 함수 극대/극소 구하기
각 경우에 대해 함수의 기울기를 분석합니다.
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경우 1: $ x \geq 2 $에서의 기울기 $$ \text{기울기} = 1 + a $$
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경우 2: $ x < 2 $에서의 기울기 $$ \text{기울기} = -1 + a $$
- 일대일 대응 조건 만들기
함수가 일대일 대응이 되기 위해서는 두 경우의 기울기가 모두 같아야 하거나 두 경우 모두 양수이거나 음수여야 합니다.
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기울기 두 개가 같을 때: $$ 1 + a = -1 + a \Rightarrow \text{해당 조건을 만족하지 않음} $$
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두 기울기가 모두 양수일 때: $$ 1 + a > 0 \quad \text{및} \quad -1 + a > 0 $$
- 조건 해결하기
각기에서 조건을 정리합니다.
- $1 + a > 0 \Rightarrow a > -1$
- $-1 + a > 0 \Rightarrow a > 1$
그러므로, 두 조건을 모두 만족시키기 위해서는: $$ a > 1 $$
- 결론 도출하기
결과적으로, 실수 $a$의 범위는 $a > 1$입니다.
실수 $a$의 범위는 $a > 1$입니다.
More Information
이 문제는 함수의 일대일 대응 조건을 구하는 문제로, 계속 증가하거나 감소하는 성질을 통해 실수의 범위를 평면에서 시각적으로 확인할 수 있습니다.
Tips
- 절댓값 함수의 경우를 나누지 않고 전체 함수를 한 번에 고려하는 실수.
- 기울기의 부호를 잘못 판단하여 조건을 잘못 설정하는 실수.
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