실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x) = |x - 2| + ax + 3 이 일대일 대응이 되도록 하는 실수 a의 값의 범위를 구하시오.

Steps to Solve

1. 주어진 함수 정리하기

함수는 다음과 같습니다: $$ f(x) = |x - 2| + ax + 3 $$

2. 절댓값 분리 및 함수 구간 나누기

절댓값 함수로 인해 $x - 2$의 값에 따라 두 가지 경우로 나누어야 합니다.

• 경우 1: $x - 2 \geq 0$ (즉, $x \geq 2$일 때) $$ f(x) = (x - 2) + ax + 3 = (1 + a)x + 1 $$

• 경우 2: $x - 2 < 0$ (즉, $x < 2$일 때) $$ f(x) = -(x - 2) + ax + 3 = (-1 + a)x + 5 $$

3. 함수 극대/극소 구하기

각 경우에 대해 함수의 기울기를 분석합니다.

• 경우 1: $ x \geq 2 $에서의 기울기 $$ \text{기울기} = 1 + a $$

• 경우 2: $ x < 2 $에서의 기울기 $$ \text{기울기} = -1 + a $$

4. 일대일 대응 조건 만들기

함수가 일대일 대응이 되기 위해서는 두 경우의 기울기가 모두 같아야 하거나 두 경우 모두 양수이거나 음수여야 합니다.

• 기울기 두 개가 같을 때: $$ 1 + a = -1 + a \Rightarrow \text{해당 조건을 만족하지 않음} $$

• 두 기울기가 모두 양수일 때: $$ 1 + a > 0 \quad \text{및} \quad -1 + a > 0 $$

5. 조건 해결하기

각기에서 조건을 정리합니다.

• $1 + a > 0 \Rightarrow a > -1$
• $-1 + a > 0 \Rightarrow a > 1$

그러므로, 두 조건을 모두 만족시키기 위해서는: $$ a > 1 $$

6. 결론 도출하기

결과적으로, 실수 $a$의 범위는 $a > 1$입니다.