Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² + 4x + 4 e y = -2x² - 8x - 5 em torno do eixo y = 4 usando o método... Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² + 4x + 4 e y = -2x² - 8x - 5 em torno do eixo y = 4 usando o método dos discos.
Understand the Problem
A questão está pedindo para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido obtido pela rotação da região delimitada por duas curvas em torno do eixo y = 4, utilizando o método dos discos.
Answer
$$ V = \pi \int_0^3 \left[(\sqrt{y - 4})^2 - (-\sqrt{-\frac{y + 5}{2}} - 4)^2\right] dy $$
Answer for screen readers
$$ V = \pi \int_{0}^{3} ((\sqrt{y - 4})^2 - (-\sqrt{-\frac{y + 5}{2}} - 4)^2) , dy $$
Steps to Solve
- Identificar as curvas envolvidas
As curvas dadas são $y = x^2 + 4x + 4$ e $y = -2x^2 - 8x - 5$. Precisamos determinar os intervalos onde estas funções se cruzam e se encontram.
- Encontrar os pontos de interseção
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções: $$ x^2 + 4x + 4 = -2x^2 - 8x - 5 $$
Rearranjando a equação: $$ 3x^2 + 12x + 9 = 0 $$
Fatorando: $$ (x + 3)^2 = 0 $$ Logo, temos $x = -3$ como a única interseção.
- Definir a integral para o volume
Usando o método dos discos, a integral para o volume $V$ ao redor do eixo $y = 4$ é dada por: $$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(y) - g(y)]^2 , dy $$
- Reescrever as funções em termos de y
Reescrevemos nossas funções em termos de $y$ para usar na integral:
- Para $y = x^2 + 4x + 4$, podemos resolver para $x$:
$$ x = \sqrt{y - 4} - 4 $$ - Para $y = -2x^2 - 8x - 5$, temos:
$$ x = -\sqrt{-\frac{y + 5}{2}} - 4 $$
- Definir os limites da integral
Os limites de integração vão de $y = 0$ a $y = 3$.
- Criar a integral final
Portanto, a integral que calcula o volume é: $$ V = \pi \int_0^3 \left[ \left(\sqrt{y - 4} - 4\right)^2 - \left(-\sqrt{-\frac{y + 5}{2}} - 4\right)^2 \right] dy $$
$$ V = \pi \int_{0}^{3} ((\sqrt{y - 4})^2 - (-\sqrt{-\frac{y + 5}{2}} - 4)^2) , dy $$
More Information
Essa expressão obtida representa o volume gerado pela rotação da área delimitada pelas curvas em torno do eixo $y=4$ utilizando o método dos discos. O processo envolve encontrar as interseções e expressar as funções adequadamente em relação a $y$.
Tips
- Esquecer de determinar os pontos de interseção: Isso pode levar a limites de integração errados.
- Confundir as funções ao reescrevê-las em termos de $y$: Certifique-se de isolar corretamente as variáveis.
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