Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x^2 - 2x + 1 e y = -2x^2 + 4x + 10 em torno do eixo y = -3 usando o mét... Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x^2 - 2x + 1 e y = -2x^2 + 4x + 10 em torno do eixo y = -3 usando o método dos discos.
Understand the Problem
A questão pede para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas fornecidas, em torno do eixo y = -3, utilizando o método dos discos.
Answer
$$ V = \pi \int_{-1}^{3} \left( (-2x^2 + 4x + 13)^2 - (x^2 - 2x + 4)^2 \right) dx $$
Answer for screen readers
$$ V = \pi \int_{-1}^{3} \left( (-2x^2 + 4x + 13)^2 - (x^2 - 2x + 4)^2 \right) dx $$
Steps to Solve
-
Identificar as curvas As curvas dadas são $y = x^2 - 2x + 1$ e $y = -2x^2 + 4x + 10$.
-
Encontrar os pontos de interseção Para encontrar os limites de integração, precisamos resolver a equação: $$ x^2 - 2x + 1 = -2x^2 + 4x + 10 $$ Reorganizando, obtemos: $$ 3x^2 - 6x - 9 = 0 $$ Dividindo tudo por 3: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Fatorando: $$ (x - 3)(x + 1) = 0 $$ Os pontos de interseção são $x = 3$ e $x = -1$.
-
Definir o raio do disco O volume do sólido de revolução não será simplesmente a diferença das funções, mas sim a distância dos pontos até o eixo $y = -3$. Para cada curva:
- Para $y = x^2 - 2x + 1$, a distância ao eixo é: $$ R_1 = (x^2 - 2x + 1) - (-3) = x^2 - 2x + 4 $$
- Para $y = -2x^2 + 4x + 10$, a distância ao eixo é: $$ R_2 = (-2x^2 + 4x + 10) - (-3) = -2x^2 + 4x + 13 $$
-
Calcular o volume usando a integral O volume do sólido de revolução é dado pela integral: $$ V = \pi \int_{-1}^{3} \left( R_2^2 - R_1^2 \right) dx $$ Substituindo os raios: $$ V = \pi \int_{-1}^{3} \left( (-2x^2 + 4x + 13)^2 - (x^2 - 2x + 4)^2 \right) dx $$
-
Escrever a integral final A integral que representa o volume do sólido é: $$ V = \pi \int_{-1}^{3} \left( (-2x^2 + 4x + 13)^2 - (x^2 - 2x + 4)^2 \right) dx $$
$$ V = \pi \int_{-1}^{3} \left( (-2x^2 + 4x + 13)^2 - (x^2 - 2x + 4)^2 \right) dx $$
More Information
Essa integral representa o volume de um sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas duas curvas em torno da linha $y = -3$. O método dos discos leva em consideração a diferença das áreas das seções transversais do sólido em relação ao eixo de rotação.
Tips
- Confundir os raios: Certificar-se de que as distâncias até o eixo de rotação estão corretas.
- Calcular os pontos de interseção incorretamente: Sempre verificar a solução da equação que define os limites da integral.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
