Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² + 4x + 4 e y = -2x² - 8x - 5 em torno do eixo y = 4 usando o método... Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² + 4x + 4 e y = -2x² - 8x - 5 em torno do eixo y = 4 usando o método dos discos.
Understand the Problem
A pergunta está pedindo para encontrar uma integral que calcula o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região delimitada por curvas em relação ao eixo y, utilizando o método dos discos.
Answer
A integral correta para calcular o volume é a alternativa **d**: $$ \pi \int_{0}^{3} \left[ (\sqrt{y} - 6)^2 - (\sqrt{y} - 2)^2 \right] dy $$
Answer for screen readers
A alternativa correta é a d.
Steps to Solve
- Identificar as curvas e os limites de integração
Temos duas curvas: $y = x^2 + 4x + 4$ e $y = -2x^2 - 8x - 5$. Precisamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam para definir os limites de integração.
- Encontrar os pontos de interseção
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
$$ x^2 + 4x + 4 = -2x^2 - 8x - 5 $$
Resolvendo essa equação quadrática, será possível encontrar os valores de $x$ que delimitam a região a ser rotacionada.
- Determine a função de volume usando o método dos discos
Usando o método dos discos, o volume $V$ de um sólido de revolução em relação ao eixo $y$ é dado por:
$$ V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 , dy $$
onde $R(y)$ é a função de raio no intervalo $[a,b]$ determinado pelos pontos de interseção.
- Escolher a integral correta
Verifique nas opções a integral que corresponde à configuração acima, levando em consideração os limites de integração e as funções que foram determinadas.
A alternativa correta é a d.
More Information
A escolha da alternativa d indica que estamos utilizando o método dos discos de forma adequada para calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas mencionadas. O volume é calculado integrando a diferença dos quadrados das funções que definem os raios do disco.
Tips
- Ignorar os limites de interseção: É crucial determinar corretamente os limites de integração a partir dos pontos em que as curvas se interceptam.
- Confundir as funções: Certifique-se de usar a função correta para o raio ao calcular o volume, especialmente ao definir a diferença entre os quadrados das funções.
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