Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² - 2x + 1 e y = -2x² + 4x + 10 em torno do eixo y = -3 usando o métod... Encontre a integral que calcula o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = x² - 2x + 1 e y = -2x² + 4x + 10 em torno do eixo y = -3 usando o método dos discos.
Understand the Problem
A questão pede para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região delimitada por duas curvas em torno do eixo y, utilizando o método dos discos.
Answer
A integral que calcula o volume do sólido é: $$ V = \pi \int_{y_1}^{y_2} \left( (5 + 6\sqrt{5 - \frac{y}{2}}) - (y + 6\sqrt{y - 1}) \right) dy $$
Answer for screen readers
$$ V = \pi \int_{y_1}^{y_2} \left( (5 + 6\sqrt{5 - \frac{y}{2}}) - (y + 6\sqrt{y - 1}) \right) dy $$
Steps to Solve
- Encontrar os pontos de interseção
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as curvas $y = x^2 - 2x + 1$ e $y = -2x^2 + 4x + 10$ se intersectam. Para isso, igualamos as duas funções:
$$ x^2 - 2x + 1 = -2x^2 + 4x + 10 $$
Rearranjando a equação:
$$ 3x^2 - 6x - 9 = 0 $$
Dividindo tudo por 3:
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$
Fatoramos:
$$ (x - 3)(x + 1) = 0 $$
Assim, temos $x = 3$ e $x = -1$ como pontos de interseção.
- Expressar as funções em termos de y
Agora, para usar o método dos discos, expressamos as funções em termos de $y$. Para a curva $y = x^2 - 2x + 1$:
$$ x = 1 \pm \sqrt{y - 1} $$
E para $y = -2x^2 + 4x + 10$:
$$ x = 2 \pm \sqrt{5 - \frac{y}{2}} $$
- Determinar a altura de cada disco
Sabemos que a rotação acontece em torno da linha $y = -3$. Por isso, a altura dos discos vai ser a diferença entre os valores de $x$ associados a cada uma das funções:
$$ \text{altura} = \left( \text{valor maior} - \text{valor menor} \right) $$
Assim, a altura $h$ dos discos será
$$ h = \left( (2 + \sqrt{5 - \frac{y}{2}}) - (1 + \sqrt{y - 1}) \right) $$
- Calcular o volume usando a fórmula do cilindro
O volume $V$ do sólido de revolução pela rotação em torno de $y = -3$ é dado por:
$$ V = \pi \int_{y_1}^{y_2} \left( \text{raio externo}^2 - \text{raio interno}^2 \right) dy $$
Com os limites de integração sendo os valores de $y$ nos pontos de interseção $y_1 $ e $y_2$.
- Substituir as funções de raio na integral
Substituindo os raios:
$$ r_{\text{externo}} = 2 + \sqrt{5 - \frac{y}{2}} + 3 $$ $$ r_{\text{interno}} = 1 + \sqrt{y - 1} + 3 $$
Assim, a integral do volume é:
$$ V = \pi \int_{y_1}^{y_2} \left( \left(5 - \frac{y}{2} + 5 + 6\sqrt{5 - \frac{y}{2}} \right) - \left( y - 1 + 6\sqrt{y - 1} \right) \right) dy $$
$$ V = \pi \int_{y_1}^{y_2} \left( (5 + 6\sqrt{5 - \frac{y}{2}}) - (y + 6\sqrt{y - 1}) \right) dy $$
More Information
Esta integral calcula o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas duas curvas em torno da linha $y = -3$. O método dos discos é uma técnica comum para resolver esses tipos de problemas.
Tips
- Ignorar a expressão correta das funções em termos de $y$ e suas interseções.
- Não considerar a altura dos discos corretamente, especialmente ao mudar de coordenadas.
- Erros nos limites de integração, especialmente se não forem verificados os valores de $y$ que correspondem aos pontos de interseção.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
