Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região delimitada pelas curvas y = x^3 + 1, y = x/2 + 3/2 e y = -x/2 + 1 em torno do eixo x = 2 us... Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região delimitada pelas curvas y = x^3 + 1, y = x/2 + 3/2 e y = -x/2 + 1 em torno do eixo x = 2 usando o Método das Cascas.
Understand the Problem
A questão pede para encontrar a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x = 2 usando o Método das Cascas.
Answer
$$ V = 2\pi \int_{-1}^{1} (2 - x) \left( x^3 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) dx $$
Answer for screen readers
$$ V = 2\pi \int_{-1}^{1} (2 - x) \left( x^3 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) , dx $$
Steps to Solve
- Identificação das curvas
As curvas dadas são ( y = x^3 + 1 ), ( y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} ), e ( y = -\frac{x}{2} + 1 ). Precisamos determinar onde essas curvas se interceptam para encontrar os limites de integração.
- Encontrar os pontos de interseção
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as equações:
- Igualando ( y = x^3 + 1 ) e ( y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} ):
$$ x^3 + 1 = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} $$
- Igualando ( y = x^3 + 1 ) e ( y = -\frac{x}{2} + 1 ):
$$ x^3 + 1 = -\frac{x}{2} + 1 $$
- Igualando ( y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} ) e ( y = -\frac{x}{2} + 1 ):
$$ \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{x}{2} + 1 $$
Após resolver cada equação, obtemos os pontos de interseção: ( x = -1 ) e ( x = 1 ).
- Aplicação do Método das Cascas
Usamos a fórmula do volume com o Método das Cascas:
$$ V = 2\pi \int_a^b (r)(h) , dx $$
onde ( r ) é a distância do eixo de rotação (( x = 2 )) até a curva e ( h ) é a altura (diferença entre as funções).
- Definindo ( r ) e ( h )
Para a parte superior e inferior do sólido:
- Para ( y = x^3 + 1 ) (superior) e ( y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} ) (inferior):
$$ r = 2 - x \quad \text{e} \quad h = \left( x^3 + 1 - \left( \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \right) \right) = x^3 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} $$
- Montar a integral
A integral do volume será:
$$ V = 2\pi \int_{-1}^{1} (2 - x) \left( x^3 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) , dx $$
$$ V = 2\pi \int_{-1}^{1} (2 - x) \left( x^3 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right) , dx $$
More Information
A integral calculada representa o volume do sólido de revolução gerado ao girar a região delimitada pelas curvas em torno do eixo ( x = 2 ). O Método das Cascas é uma forma eficiente de lidar com sólidos de revolução que não estão em relação ao eixo ( x ) ou ( y ).
Tips
- Confundir a distância ( r ) ao eixo de rotação e a altura ( h ) ao calcular a integral.
- Não identificar corretamente os limites de integração, resultando em um volume incorreto.
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