Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região S delimitada pelas curvas y = x³ + 1, y = x + 7 e y = -x/2 + 1 em torno do eixo y = -1 usan... Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região S delimitada pelas curvas y = x³ + 1, y = x + 7 e y = -x/2 + 1 em torno do eixo y = -1 usando o Método dos Discos. Escolha uma opção:
Understand the Problem
A questão pede para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido de revolução obtido ao girar uma região delimitada por certas curvas. O objetivo é escolher a opção correta que representa essa integral.
Answer
$$ \pi \int_{0}^{2} \left((x + 6)^2 - (x^3)^2\right) dx + \pi \int_{0}^{4} \left((x + 8)^2 - (1)^2\right) dx $$
Answer for screen readers
A resposta correta é: $$ \pi \int_{0}^{2} \left((x + 6)^2 - (x^3)^2\right) dx + \pi \int_{0}^{4} \left((x + 8)^2 - (1)^2\right) dx $$
Steps to Solve
- Identificação das curvas e limites Primeiro, identifique as curvas delimitando a região ( S ):
- ( y = x^3 + 1 )
- ( y = x + 7 )
- ( y = -\frac{x}{2} + 1 )
Além disso, determine os intervalos para ( x ) onde essas curvas se cruzam.
- Determinação dos pontos de interseção Calcule onde as curvas se encontram. Por exemplo, resolva as equações:
- ( x^3 + 1 = x + 7 )
- ( x^3 + 1 = -\frac{x}{2} + 1 )
- ( x + 7 = -\frac{x}{2} + 1 )
Essas resolverão os limites de integração.
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Aplicação do método dos discos Utilize o método dos discos, onde o volume ( V ) é dado por: $$ V = \pi \int_{a}^{b} \left( R(x)^2 - r(x)^2 \right) dx $$ onde ( R(x) ) é a função superior e ( r(x) ) a função inferior na região ( S ).
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Substituição das funções Substitua as funções nas integrais adequadas, dependendo dos limites que você encontrou.
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Simplificação e comparação Simplifique a integral resultante e compare com as opções dadas para selecionar a correta.
A resposta correta é: $$ \pi \int_{0}^{2} \left((x + 6)^2 - (x^3)^2\right) dx + \pi \int_{0}^{4} \left((x + 8)^2 - (1)^2\right) dx $$
More Information
Esse tipo de problema é comum em cálculo, especialmente quando se trata de sólidos de revolução. O método dos discos é uma técnica eficiente para calcular volumes ao girar uma função ao redor de um eixo.
Tips
- Errar ao encontrar os pontos de interseção: É essencial verificar se os pontos onde as curvas se cruzam estão corretamente especificados.
- Confundir as funções superior e inferior: Você deve garantir que ( R(x) ) é sempre a curva mais alta em um intervalo dado, e ( r(x) ) a mais baixa.
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