En utilisant la définition d’un voisinage d’un nombre réel, montrer que les fonctions nulles f, g et h de la variable réelle x, définies par : x ↦ f(x) = x², x ↦ g(x) = √x, x ↦ h(x... En utilisant la définition d’un voisinage d’un nombre réel, montrer que les fonctions nulles f, g et h de la variable réelle x, définies par : x ↦ f(x) = x², x ↦ g(x) = √x, x ↦ h(x) = √|x|.
Understand the Problem
La question demande de montrer, en utilisant la définition d'un voisinage d'un nombre réel, que les fonctions définies par f(x) = x², g(x) = √x et h(x) = √|x| sont nulles dans un certain sens, en se basant sur le comportement des fonctions autour de certaines valeurs de x.
Answer
Les fonctions $f(x) = x^2$, $g(x) = \sqrt{x}$, et $h(x) = \sqrt{|x|}$ sont nulles lorsque $x$ approche 0.
Answer for screen readers
Les fonctions $f(x) = x^2$, $g(x) = \sqrt{x}$ (pour $x \geq 0$), et $h(x) = \sqrt{|x|}$ sont toutes nulles dans le sens que pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que si $|x| < \delta$, alors $f(x) < \epsilon$, $g(x) < \epsilon$, et $h(x) < \epsilon$.
Steps to Solve
- Voisinage d'un nombre réel
Un voisinage d'un nombre réel $a$ est défini comme l'ensemble des nombres $x$ tels que $|x - a| < \epsilon$, où $\epsilon$ est un petit nombre réel positif. Cela signifie que nous examinons les valeurs proches de $a$.
- Fonction $f(x) = x^2$ autour de $a = 0$
Nous allons montrer que $f(x)$ est nulle en regardant $f(x)$ lorsque $x$ se rapproche de $0$.
Calculons : $$ f(x) = x^2 $$
Pour $|x| < \delta$, nous avons $f(x) = x^2 < \epsilon$ si $\delta < \sqrt{\epsilon}$. Donc, pour chaque $\epsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que si $|x| < \delta$, alors $f(x) < \epsilon$.
- Fonction $g(x) = \sqrt{x}$ autour de $a = 0$
Pour $g(x)$, la définition n'est valable que pour $x \geq 0$. Nous examinons encore $g(x)$ lorsque $x$ se rapproche de $0$.
Calculons : $$ g(x) = \sqrt{x} $$
Pour $|x| < \delta$, et en prenant $\delta < \epsilon^2$, nous avons $g(x) = \sqrt{x} < \epsilon$ pour chaque $\epsilon > 0$.
- Fonction $h(x) = \sqrt{|x|}$ autour de $a = 0$
Enfin, regardons $h(x)$, qui est définie pour tous les réels.
Calculons : $$ h(x) = \sqrt{|x|} $$
Pour $|x| < \delta$, en prenant $\delta < \epsilon^2$, on obtient $h(x) = \sqrt{|x|} < \epsilon$ pour chaque $\epsilon > 0$.
Les fonctions $f(x) = x^2$, $g(x) = \sqrt{x}$ (pour $x \geq 0$), et $h(x) = \sqrt{|x|}$ sont toutes nulles dans le sens que pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que si $|x| < \delta$, alors $f(x) < \epsilon$, $g(x) < \epsilon$, et $h(x) < \epsilon$.
More Information
Ces fonctions représentent des cas où les valeurs des fonctions tendent vers zéro lorsque $x$ se rapproche de zéro. Cela montre un comportement essentiel dans l'étude des limites en analyse.
Tips
- Ne pas considérer les conditions pour $g(x)$, qui n'est défini que pour $x \geq 0$.
- Oublier de définir correctement $\delta$ pour chaque $\epsilon$ choisi.
- Prendre des valeurs de $\delta$ trop grandes, ce qui pourrait donner des résultats incorrects.
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