En utilisant la définition d'un voisinage d'un nombre réel, montrer que les fonctions nu riques f, g et h de la variable réelle x, définies par : f(x) = x², g(x) = √x, h(x) = √|x|... En utilisant la définition d'un voisinage d'un nombre réel, montrer que les fonctions nu riques f, g et h de la variable réelle x, définies par : f(x) = x², g(x) = √x, h(x) = √|x| sont continues sur leurs domaines de définition respectifs. Read more

Steps to Solve

1. Définition d'un voisinage Un voisinage d'un point $a$ est un intervalle ouvert $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ pour un certain $\varepsilon > 0$. Nous devons montrer que pour chaque $a$ dans le domaine, si $x$ est proche de $a$, alors $f(x)$ est proche de $f(a)$.

2. Continuité de $f(x) = x^2$ Choisissons un point $a \in \mathbb{R}$. Pour montrer que $f$ est continue en $a$, calculons : $$ |f(x) - f(a)| = |x^2 - a^2| = |(x - a)(x + a)| $$ Si $|x - a| < \delta$ alors $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ pour $\delta$ adéquat par exemple, $\delta < \frac{\varepsilon}{|2a| + 1}$.

3. Continuité de $g(x) = \sqrt{x}$ Pour $g$, choisissons $a \geq 0$ (car $g$ n'est pas défini pour $x < 0$). Nous avons : $$ |g(x) - g(a)| = |\sqrt{x} - \sqrt{a}| = \frac{|x - a|}{\sqrt{x} + \sqrt{a}} $$ Si $|x - a| < \delta$, alors $|g(x) - g(a)| < \varepsilon$ pour $\delta$ suffisamment petit.

4. Continuité de $h(x) = \sqrt{|x|}$ Prenons $a \in \mathbb{R}$. Lorsqu'on examine la continuité de $h$, on a : $$ |h(x) - h(a)| = |\sqrt{|x|} - \sqrt{|a|}| = \frac{||x| - |a||}{\sqrt{|x|} + \sqrt{|a|}} $$ Si $|x - a| < \delta$ alors $||x| - |a|| \leq |x - a|$, et on peut montrer que $|h(x) - h(a)| < \varepsilon$ pour $\delta$ suffisamment petit.