Demuestre que es una función de probabilidad. Encuentre la probabilidad indicada y haga la gráfica de la función de probabilidad, encuentre la media y la varianza de la distribució... Demuestre que es una función de probabilidad. Encuentre la probabilidad indicada y haga la gráfica de la función de probabilidad, encuentre la media y la varianza de la distribución. Una compañía aseguradora ofrece descuentos a los propietarios de casas que deseen instalar detectores de humo en sus hogares. Se estima que solo el 80% de los asegurados tiene detectores de humo. Usted toma una muestra aleatoria de ocho asegurados. Sea X el número propietarios en la muestra que tiene detectores de humo. a) Encuentre la probabilidad de que exactamente 6 tiene detectores de humo b) ¿qué es igual P(X≤1)? c) ¿Cuál es la probabilidad que solo uno tenga detector de humo? d) Con base en el resultado obtenido ¿considera que este sería un resultado inusual? Asuma que Z es una variable aleatoria normal estándar. Usando la tabla de la normal estándar encuentre las siguientes probabilidades. La fuerza de la tensión del papel es modelada por la distribución normal con media de 35 libras por pulgada cuadrada y una desviación estándar de 2 libras por pulgada cuadrada. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza de una muestra sea menor de 40 Lb/pulg? Si las especificaciones requieren que la fuerza de tensión exceda 30 lb/pulg2, ¿cuál es la proporción de las muestras que serán rechazadas? Si el volumen de llenado de una máquina automática usada para llenar latas de una bebida carbonatada se distribuye normalmente con una media de 12.4 onzas de líquido con una desviación estándar de 0.1 onza. ¿Cuál es la probabilidad de que el llenado sea menor a 12 onzas? Si las latas que volumen de llenado serán de 12.1 onzas o mayor a 12.6 onzas, ¿cuál es la proporción de latas descartadas? Read more

Steps to Solve

1. Identificar la función de probabilidad

La tabla proporcionada muestra los valores de $X$ y sus probabilidades $P(X)$. Para asegurarnos de que sea una función de probabilidad válida, las probabilidades deben sumar 1.

2. Calcular la probabilidad de $P(X = 6)$

Para esto, utilizaremos la fórmula de la distribución binomial. La probabilidad de que exactamente $k$ éxitos ocurran en $n$ pruebas es:

$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} $$

Donde:

• $n$ es el número de intentos (en este caso, 10),
• $k$ es el número de éxitos deseados (en este caso, 6),
• $p$ es la probabilidad de éxito (80% o 0.8).

Calculamos la probabilidad usando esta fórmula.

3. Calcular $P(X \leq 1)$

Para $P(X \leq 1)$, necesitamos sumar las probabilidades de que $X = 0$ y $X = 1$. Usamos la fórmula de la binomial nuevamente para $k = 0$ y $k = 1$.

4. Calcular la probabilidad de que exactamente uno tenga detector

Ya calculamos $P(X = 1)$ y lo utilizaremos para responder a esta pregunta.

5. Evaluar si el resultado es inusual

Un resultado es inusual si la probabilidad es menor a 0.05 o 5%. Compararemos nuestra probabilidad de tener exactamente 6 detectores con este umbral.

6. Identificar probabilidades usando la tabla normal estándar

Para las probabilidades de la variable Z, usaremos la tabla de la distribución normal estándar para encontrar:

• $P(Z < 3.0)$
• $P(Z < 1.45)$
• $P(Z < 1.76)$, etc.

7. Encontrar la probabilidad de fuerza menor a 40 lb/pulg.

Utilizaremos la fórmula de la normal estándar. Necesitamos calcular el puntaje Z para $X = 40$ usando la media ($\mu=35$) y desviación estándar ($\sigma=2$):

$$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $$

Luego, buscaremos $P(Z < z)$ en la tabla.

8. Calcular proporción de muestras rechazadas

Usaremos el puntaje Z para $30$ lb/pulg. y aplicaremos el mismo proceso que en el paso anterior.

9. Posibilidades de líquido en latas

Para calcular la probabilidad de que el contenido sea menor a 12 onzas, calcularemos el puntaje Z utilizando la media y desviación estándar dadas.