Data la parabola di equazione y = (a - 3)x^2 - (2a + 1)x + a + 1, determina per quali valori del parametro a: a. interseca l'asse x in due punti distinti; b. ha la concavità rivolt... Data la parabola di equazione y = (a - 3)x^2 - (2a + 1)x + a + 1, determina per quali valori del parametro a: a. interseca l'asse x in due punti distinti; b. ha la concavità rivolta verso il basso; c. passa per il punto P(2, 3); d. ha come asse la retta di equazione x = -1.
Understand the Problem
La domanda richiede di determinare i valori del parametro a per una parabola di un'equazione specifica, con quattro condizioni diverse da soddisfare riguardo alla sua intersezione e forma.
Answer
a. $a > -\frac{13}{12}$, b. $a < 3$, c. $a = 16$, d. $a = \frac{5}{4}$
Answer for screen readers
a. $a > -\frac{13}{12}$, b. $a < 3$, c. $a = 16$, d. $a = \frac{5}{4}$
Steps to Solve
- Intersezione con l'asse x Per determinare quando la parabola interseca l'asse x in due punti distinti, dobbiamo analizzare il discriminante dell'equazione quadratica. L'equazione è nella forma standard $y = Ax^2 + Bx + C$, quindi calcoliamo il discriminante: $$ D = B^2 - 4AC $$
Per avere due punti distinti, dobbiamo avere $D > 0$.
Nel nostro caso:
- $A = a - 3$
- $B = -(2a + 1)$
- $C = a + 1$
Quindi il discriminante diventa: $$ D = (-(2a + 1))^2 - 4(a - 3)(a + 1) $$
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Concavità verso il basso La concavità della parabola è determinata dal coefficiente di $x^2$. La parabola ha concavità rivolta verso il basso quando $A < 0$. Pertanto, per la nostra parabola: $$ a - 3 < 0 $$ Risolvendo per $a$, otteniamo: $$ a < 3 $$
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Passa per il punto P(2, 3) Per verificare se la parabola passa per il punto P(2, 3), sostituiamo $x = 2$ e $y = 3$ nell'equazione della parabola: $$ 3 = (a - 3)(2^2) - (2a + 1)(2) + (a + 1) $$ Semplificando l'equazione e risolvendo per $a$, otteniamo una condizione.
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Asse di simmetria x = -1 L'asse di simmetria di una parabola è dato da $x = -\frac{B}{2A}$. Quindi, impostando $ -\frac{-(2a + 1)}{2(a - 3)} = -1$ e risolvendo per $a$: $$ \frac{2a + 1}{2(a - 3)} = -1 $$ Risolvendo quest'equazione si ottiene il valore di $a$.
a. $a > -\frac{13}{12}$, b. $a < 3$, c. $a = 16$, d. $a = \frac{5}{4}$
More Information
Abbiamo determinato le condizioni per cui la parabola interseca l'asse x in due punti distinti, ha la concavità rivolta verso il basso, passa per un punto specifico e ha un asse di simmetria ben definito. Ogni condizione è stata esaminata in modo dettagliato attraverso il discriminante e le proprietà delle parabole.
Tips
- Errori di calcolo nel discriminante: Assicurati di calcolare correttamente i coefficienti $A$, $B$ e $C$.
- Scambiare le condizioni per la concavità: Ricorda che concavità verso il basso significa che il coefficiente $A$ deve essere negativo.
- Non sostituire correttamente i valori: Verifica sempre i calcoli quando sostituisci valori nell'equazione della parabola.
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