Dacă A ⊂ R este o mulțime compactă, iar f : A → R este o funcție continuă, atunci f este uniform continuă pe A. Demonstrație.

Steps to Solve

1. Presupunerea contrară
   Presupunem că funcția $f$ nu este uniform continuă pe mulțimea compactă $A$. Asta înseamnă că există $\epsilon > 0$ astfel încât pentru orice $\delta > 0$, există puncte $x_1, x_2 \in A$ cu $|x_1 - x_2| < \delta$ dar $|f(x_1) - f(x_2)| \geq \epsilon$.

2. Selecția secvențelor
   Alegem o secvență de puncte $x_n$ și $y_n$ în mulțimea $A$ astfel încât:
   $$ |x_n - y_n| < \frac{1}{n} \quad \text{și} \quad |f(x_n) - f(y_n)| \geq \epsilon. $$ Aceasta implică faptul că diferența $|f(x_n) - f(y_n)|$ nu poate fi controlată.

3. Convergența secvențelor
   Dacă $A$ este compactă, putem găsi o sub-secvență din punctele selectate anterior care converg, deci există $x \in A$ astfel încât $x_n \to x$ și $y_n \to x$ când $n \to \infty$.

4. Limitarea valorilor funcției
   Conform continuității lui $f$, avem:
   $$ f(x_n) \to f(x) \quad \text{și} \quad f(y_n) \to f(x). $$ Deci, în limitele acestora, rezultatul devine:
   $$ |f(x_n) - f(y_n)| \to 0. $$

5. Contradicția
   Aceasta contrazice ipoteza anterioară deoarece ar trebui să avem:
   $$ \lim_{n \to \infty} |f(x_n) - f(y_n)| = 0 < \epsilon, $$ iar astfel am ajuns la o contradicție. Prin urmare, $f$ trebuie să fie uniform continuă pe $A$.