Creează un set de întrebări pentru următoarea demonstrație: Presupunem prin reducere la absurd că f nu este uniform continuă pe A. Prin urmare, există ε > 0 și (xn), (yn) ⊂ A astfe... Creează un set de întrebări pentru următoarea demonstrație: Presupunem prin reducere la absurd că f nu este uniform continuă pe A. Prin urmare, există ε > 0 și (xn), (yn) ⊂ A astfel încât xn − yn → 0 și |f (xn) − f (yn)| ≥ ε, ∀n. Dar A este compactă, prin urmare, conform propoziției 3.6, șirul (xn) ⊂ A are un subsir (xnk)k convergent la un element x ∈ A. Apoi xn − yn n→∞ → 0 implică xnk − ynk k→∞ → 0, de unde ynk = xnk − (xnk − ynk) k→∞ → x. Deoarece f este continuă pe A, deci și în x, rezultă că f (xnk) k→∞ → f (x) și f (ynk) k→∞ → f (x), de unde f (xnk) − f (ynk) k→∞ → 0. Cum |f (xnk) − f (ynk)| ≥ ε, pentru orice k, trecând la lim k→∞, ajungem la contradicția 0 ≥ ε. Deci presupunerea făcută este falsă și f este uniform continuă pe A. Read more

Steps to Solve

1. Definirea uniformității continue

Întrebare: Ce înseamnă ca o funcție $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ să fie uniform continuă?

Răspuns: O funcție este uniform continuă pe un interval compact $[a, b]$ dacă pentru orice $\epsilon > 0$, există un $\delta > 0$ astfel încât pentru orice $x_1, x_2 \in [a, b]$, dacă $|x_1 - x_2| < \delta$, atunci $|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon$.

2. Contradicția presupusă

Întrebare: Ce presupunem dacă dorim să demonstrăm că funcția nu este uniform continuă?

Răspuns: Presupunem că, în contradicție cu definiția, există un $\epsilon > 0$ astfel încât, indiferent de cât de mic este $\delta$, putem găsi $x_1, x_2 \in [a, b]$ cu $|x_1 - x_2| < \delta$, dar $|f(x_1) - f(x_2)| \geq \epsilon$.

3. Obținerea unei secvențe de puncte

Întrebare: Cum putem folosi presupunerea pentru a construi o secvență de puncte?

Răspuns: Avem o secvență de puncte $(x_n)$ în $[a, b]$, astfel încât $|x_n - x_m| < \delta$ pentru toate $n, m$, dar $|f(x_n) - f(x_m)| \geq \epsilon$ pentru toate $n, m$.

4. Aplicația teoremei Bolzano-Weierstrass

Întrebare: Ce ne spune teorema Bolzano-Weierstrass despre secvențele din intervale compacte?

Răspuns: Teorema afirmă că orice secvență dintr-un interval compact are o subsecvență convergentă. Astfel, putem găsi o subsecvență $(x_{n_k})$ care converge la un punct $c \in [a, b]$.

5. Convergența funcției și rezultatul final

Întrebare: Ce se întâmplă cu $f(x_n)$ când $x_n$ converge la $c$?

Răspuns: Dacă $f$ nu este uniform continuă, atunci prințul mustrării noastre, dar $f(x_{n_k})$ nu poate convergera, ceea ce contrazice faptul că $f$ este continuă pe intervalul compact $[a, b]$. Astfel, concluzionăm că funcția $f$ este uniform continuă.