Considere as funções f(x) = log3(x + 2) e g(x) = x³ - x² + 3. 10.1. O valor de (g • f)(-1) é: (A) 0 (B) 3 (C) log3(2) (D) 1 (E) Nenhum dos anteriores. 10.2. O conjunto solução de f... Considere as funções f(x) = log3(x + 2) e g(x) = x³ - x² + 3. 10.1. O valor de (g • f)(-1) é: (A) 0 (B) 3 (C) log3(2) (D) 1 (E) Nenhum dos anteriores. 10.2. O conjunto solução de f(x) < 1 é: (A) ] -2, +∞ [ (B) ] -2,1 [ (C) ] -∞,1 [ (D) ] -1,2 [ (E) Nenhum dos anteriores. 10.3. A taxa de variação média de g no intervalo [1, 2] é: (A) 5 (B) -4 (C) 10 (D) 4 (E) Nenhum dos anteriores.

Understand the Problem

A questão pede para resolver operações com duas funções matemáticas: f(x) = log3(x + 2) e g(x) = x³ - x² + 3. As subquestões solicitam o valor da composição das funções em um ponto específico, o conjunto de soluções para uma desigualdade e a taxa de variação de uma função em um intervalo. Precisamos abordar cada parte utilizando conceitos de funções, logaritmos e cálculo de taxas de variação.

Answer

10.1: 3, 10.2: $]-2, 1[$, 10.3: 4

Steps to Solve

Cálculo de $g \circ f(-1)$

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $f(-1)$ usando a função $f(x) = \log_3(x + 2)$:

$$ f(-1) = \log_3(-1 + 2) = \log_3(1) = 0 $$

Agora, substituiremos esse resultado na função $g(x)$:

$$ g(f(-1)) = g(0) = 0^3 - 0^2 + 3 = 3 $$

Solução da desigualdade $f(x) < 1$

Precisamos resolver a desigualdade:

$$ \log_3(x + 2) < 1 $$

Convertendo a desigualdade logarítmica para uma forma exponencial:

$$ x + 2 < 3^1 $$

Simplificando, obtemos:

$$ x + 2 < 3 $$ $$ x < 1 $$

Agora, como a função $f(x)$ está definida apenas para $x + 2 > 0$, ou seja, $x > -2$, temos o intervalo:

$$ -2 < x < 1 $$

Taxa de variação média de $g(x)$ no intervalo $[1, 2]$

Usamos a fórmula da taxa de variação média:

$$ \text{Taxa de variação média} = \frac{g(b) - g(a)}{b - a} $$

onde $a = 1$ e $b = 2$:

Calculando $g(1)$ e $g(2)$:

$$ g(1) = 1^3 - 1^2 + 3 = 3 $$ $$ g(2) = 2^3 - 2^2 + 3 = 8 - 4 + 3 = 7 $$

Agora substituímos na fórmula:

$$ \text{Taxa de variação média} = \frac{g(2) - g(1)}{2 - 1} = \frac{7 - 3}{1} = 4 $$

10.1: (B) 3

10.2: (A) $]-2, 1[$

10.3: (D) 4

More Information

A função logarítmica $f(x)$ é definida para valores em que seu argumento é positivo. A taxa de variação média é uma medida da mudança valiosa de uma função em um intervalo específico. Funções como $g(x)$ são polinomiais, que possuem um comportamento previsível ao longo de seus domínios.

Tips

Confundir a desigualdade logarítmica e suas interpretações. Fique atento ao converter logaritmos em suas formas exponenciais.
Erros ao aplicar a fórmula da taxa de variação média, principalmente na substituição dos valores de $g(1)$ e $g(2)$. Verifique se está utilizando os pontos corretos.

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