Considere a função quadrática, g, definida pela expressão analítica g(x) = -x² - x + 2. A solução da condição g(x)/(x-1) > 0 é:

Steps to Solve

1. Análise da expressão g(x)
   Começamos analisando a função quadrática dada:
   $$ g(x) = -x^2 - x + 2 $$

2. Encontrar as raízes de g(x)
   Igualamos a função a zero para encontrar seus zeros:
   $$ -x^2 - x + 2 = 0 $$
   Multiplicamos a equação por -1:
   $$ x^2 + x - 2 = 0 $$
   Usamos a fórmula quadrática:
   $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
   onde ( a = 1 ), ( b = 1 ), e ( c = -2 ):
   $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} $$

3. Determinação das raízes
   Encontramos as raízes:
   $$ x_1 = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-4}{2} = -2 $$

4. Análise da desigualdade g(x)/(x-1) > 0
   Agora, precisamos analisar a expressão:
   $$ \frac{g(x)}{x-1} > 0 $$
   As raízes que encontramos são ( x = -2 ) e ( x = 1 ). As desigualdades podem mudar de sinal nesses pontos.

5. Intervalos a serem testados
   Os intervalos a serem testados após as raízes são:

• ( (-\infty, -2) )
• ( (-2, 1) )
• ( (1, +\infty) )

6. Testando os intervalos
   Testamos um ponto em cada intervalo:

• Para ( x = -3 ) (em ( (-\infty, -2) )):
  $$ g(-3) = -(-3)^2 - (-3) + 2 = -9 + 3 + 2 = -4, \quad x-1 = -4 ; (negativo) $$
  Portanto, ( \frac{g(-3)}{-4} < 0 ).
• Para ( x = 0 ) (em ( (-2, 1) )):
  $$ g(0) = -0^2 - 0 + 2 = 2, \quad x-1 = -1 ; (negativo) $$
  Portanto, ( \frac{g(0)}{-1} > 0 ).
• Para ( x = 2 ) (em ( (1, +\infty) )):
  $$ g(2) = -2^2 - 2 + 2 = -4 - 2 + 2 = -4, \quad 2-1 = 1 ; (positivo) $$
  Portanto, ( \frac{g(2)}{1} < 0 ).

7. Conclusão dos intervalos
   A solução da desigualdade é então ( (-2, 1) ).