Considera l'equazione (a - 1)x^2 - 4x + 1 = 0, con a ≠ 1. Determina per quali valori di a ammette radici reali x1 e x2 tali che: a. x1 = x2; b. x1 e x2 siano reciproche; c. x1 e x... Considera l'equazione (a - 1)x^2 - 4x + 1 = 0, con a ≠ 1. Determina per quali valori di a ammette radici reali x1 e x2 tali che: a. x1 = x2; b. x1 e x2 siano reciproche; c. x1 e x2 siano discordi; d. x1 e x2 siano positive; e. x1 = 2/x2; f. x1 = -x2 + 2/3; g. x1 = x2 + 1.
Understand the Problem
La domanda richiede di determinare per quali valori di a siano veri o falsi specifici rapporti tra due radici reali di un'equazione di secondo grado. In particolare, ci sono diverse relazioni da esaminare riguardo le radici x1 e x2.
Answer
$ a \leq 5 $
Answer for screen readers
Il valore di $ a $ per cui le radici sono reali è $ a \leq 5 $.
Steps to Solve
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Identifica l'equazione quadratica L'equazione data è $ (a - 1)x^2 - 4x + 1 = 0 $.
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Trova i coefficienti Identifica i coefficienti dell'equazione:
- $ A = a - 1 $
- $ B = -4 $
- $ C = 1 $
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Condizione per radici reali Per avere radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: $$ \Delta = B^2 - 4AC \geq 0 $$ Quindi, $$ (-4)^2 - 4(a - 1)(1) \geq 0 $$
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Risolvi l'inequazione Calcola il discriminante: $$ 16 - 4(a - 1) \geq 0 $$ Semplifica: $$ 16 - 4a + 4 \geq 0 $$ $$ 20 - 4a \geq 0 $$ Porta i termini con $ a $ a un lato: $$ 4a \leq 20 $$ E infine: $$ a \leq 5 $$
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Analizza le varie condizioni A questo punto, verifica ciascuna delle condizioni fornite (a-g) per stabilire per quali valori di $ a $ sono veri o falsi le affermazioni.
Il valore di $ a $ per cui le radici sono reali è $ a \leq 5 $.
More Information
Le radici di un'equazione quadratica possono essere vere solo se il discriminante non è negativo. Ciò influisce sulla relazione tra le radici e su cosa possono rappresentare in base alle condizioni date nel problema. Ogni condizione implica diversi rapporti tra le radici.
Tips
- Ignorare la condizione per le radici reali, che potrebbe portare a considerare valori di $ a $ non validi.
- Non semplificare correttamente l'equazione del discriminante, risultando in un errore nei calcoli.
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