Conditions de plastification d'un tube à paroi mince. On souhaite utiliser un tube cylindrique à paroi mince d'épaisseur e pari d'un rayon R et qui doit être soumis à une pression... Conditions de plastification d'un tube à paroi mince. On souhaite utiliser un tube cylindrique à paroi mince d'épaisseur e pari d'un rayon R et qui doit être soumis à une pression interne P. La limite d'élasticié du matériel utilisé est de 600 MPa. Détails concernant la pression interne et les contraintes.
Understand the Problem
La question aborde la plastification et les contraintes sur des matériaux, en demandant d'évaluer des états de contrainte et d'appliquer des critères de plastification selon Tresca et Von Mises. Il y a également une demande pour déterminer les limites de contrainte dans des scénarios spécifiques.
Answer
La contrainte équivalente selon Von Mises devra être en dessous de $600\, \text{MPa}$ pour éviter la plastification.
Answer for screen readers
La condition de plastification est donnée par: $$ \sigma_{\text{eq}} \leq 600, \text{MPa} $$
Surface approximative du calcul de $R$ pour vérifier les valeurs.
Steps to Solve
- Identifier les contraintes principales
Pour un tube à paroi mince soumis à une pression interne $P$, les contraintes principales dans le tube sont:
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La contrainte circonférentielle (hoop stress) est donnée par: $$ \sigma_1 = \frac{PR}{e} $$
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La contrainte axiale est: $$ \sigma_2 = 0 $$
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La contrainte radiale (pression interne dans le tube) est: $$ \sigma_3 = -P $$
- Calculer les valeurs de $\sigma_1$, $\sigma_2$, et $\sigma_3$
On connaît la pression interne $P = 25 , \text{MPa}$ et l'épaisseur $e = 1 , \text{mm}$ ($e = 0.001 , \text{m}$) avec un rayon $R$ (à déterminer).
Calculons la contrainte circonférentielle: $$ \sigma_1 = \frac{PR}{e} = \frac{(25 \times 10^6) R}{0.001} = 25 \times 10^9 R $$
- Établir les conditions de plastification
La condition de plastification selon le critère de Von Mises est: $$ \sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}} \leq \sigma_y $$
Où $\sigma_y = 600, \text{MPa}$ est la limite d'élasticité.
Calculons $\sigma_{\text{eq}}$: $$ \sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - 0)^2 + (0 - (-P))^2 + ((-P) - \sigma_1)^2}{2}} $$
- Calculer et appliquer le critère de Von Mises
Nous substituons les valeurs de $\sigma_1$, $\sigma_2$ et $\sigma_3$ pour formuler le critère de Von Mises et vérifier pour quelles valeurs de $R$ la condition de plastification est respectée.
- Simuler les valeurs de $R$
Pour un $R$ donné, déterminer si: $$ \sigma_{\text{eq}} \leq \sigma_y $$ Effectuer cette analyse pour plusieurs valeurs de $R$ (par exemple, $R = 0.02 , \text{m}$ pour voir si cela passe la condition de plastification).
La condition de plastification est donnée par: $$ \sigma_{\text{eq}} \leq 600, \text{MPa} $$
Surface approximative du calcul de $R$ pour vérifier les valeurs.
More Information
Cette analyse est essentielle dans le design de structures soumises à des pressions internes, comme les tuyaux et réservoirs, pour garantir la sécurité en évitant la plastification.
Tips
- Ne pas tenir compte de la conversion d'unités (par exemple, convertir mm en m).
- Oublier de considérer toutes les contraintes principales dans l'application du critère de Von Mises.
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