Bestimmen Sie für die geometrischen Folgen das Anfangsglied a1, den Quotienten q, das allgemeine Glied an und die 10. Partialsumme: a) 1,2,4,8,16,... b) 9,3,1,1/3,1/9,... c) 1; 9/1... Bestimmen Sie für die geometrischen Folgen das Anfangsglied a1, den Quotienten q, das allgemeine Glied an und die 10. Partialsumme: a) 1,2,4,8,16,... b) 9,3,1,1/3,1/9,... c) 1; 9/10; 81/100,...
Understand the Problem
Die Frage handelt von geometrischen Folgen. Es wird gefragt, das Anfangsglied, den Quotienten und das allgemeine Glied für verschiedene Folgen zu bestimmen sowie die 10. Partialsummene zu berechnen.
Answer
a) \( a_1 = 1, q = 2, S_{10} = 1023 \), b) \( a_1 = 9, q = \frac{1}{3}, S_{10} \approx 1,349 \), c) \( a_1 = 1, q = \frac{9}{10}, S_{10} \approx 6,513 \)
Answer for screen readers
a) ( a_1 = 1, q = 2, S_{10} = 1023 )
b) ( a_1 = 9, q = \frac{1}{3}, S_{10} \approx 1,349 )
c) ( a_1 = 1, q = \frac{9}{10}, S_{10} \approx 6,513 )
Steps to Solve
- Folge a: Bestimmung des Anfangsglieds, des Quotienten und des allgemeinen Gliedes
Für die Folge (1, 2, 4, 8, 16, \ldots) sehen wir, dass jedes Glied das Doppelte des vorherigen ist.
- Anfangsglied (a_1 = 1)
- Quotient (q = 2)
Das allgemeine Glied kann wie folgt formuliert werden: $$ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} = 1 \cdot 2^{(n-1)} $$
- Berechnung der 10. Partialsumme der Folge a
Die Formel für die (n)-te Partialsumme (S_n) einer geometrischen Reihe lautet: $$ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $$
Für (n=10): $$ S_{10} = 1 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023 $$
- Folge b: Bestimmung des Anfangsglieds, des Quotienten und des allgemeinen Gliedes
Für die Folge (9, 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \ldots) sehen wir, dass jedes Glied das Drittel des vorherigen ist.
- Anfangsglied (a_1 = 9)
- Quotient (q = \frac{1}{3})
Das allgemeine Glied lautet: $$ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} = 9 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{(n-1)} $$
- Berechnung der 10. Partialsumme der Folge b
Für (n=10): $$ S_{10} = 9 \cdot \frac{(1/3)^{10} - 1}{(1/3) - 1} = 9 \cdot \frac{\frac{1}{59049} - 1}{-\frac{2}{3}} = 9 \cdot \frac{-\frac{59049 - 1}{59049}}{-\frac{2}{3}} = 9 \cdot \frac{59048}{59049} \cdot \frac{3}{2} $$
Das vereinfacht sich zu: $$ S_{10} = \frac{9 \cdot 3 \cdot 59048}{2 \cdot 59049} = \frac{159144}{118098} \approx 1,349... $$
- Folge c: Bestimmung des Anfangsglieds, des Quotienten und des allgemeinen Gliedes
Für die Folge (1, \frac{9}{10}, \frac{81}{100}, \ldots) erkennen wir, dass der Quotient das Verhältnis der nachfolgenden Glieder beträgt.
- Anfangsglied (a_1 = 1)
- Quotient (q = \frac{9}{10})
Das allgemeine Glied lautet: $$ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} = 1 \cdot \left( \frac{9}{10} \right)^{(n-1)} $$
- Berechnung der 10. Partialsumme der Folge c
Für (n=10): $$ S_{10} = 1 \cdot \frac{\left(\frac{9}{10}\right)^{10} - 1}{\frac{9}{10} - 1} = \frac{\left(\frac{9}{10}\right)^{10} - 1}{-\frac{1}{10}} = -10 \cdot \left(\left(\frac{9}{10}\right)^{10} - 1\right) $$
Das ergibt: $$ S_{10} = 10 - 10 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{10} $$
Die Berechnung für ( \left(\frac{9}{10}\right)^{10} ) ergibt ungefähr ( 0,3487 ), also: $$ S_{10} \approx 10 - 3,487 = 6,513 $$
a) ( a_1 = 1, q = 2, S_{10} = 1023 )
b) ( a_1 = 9, q = \frac{1}{3}, S_{10} \approx 1,349 )
c) ( a_1 = 1, q = \frac{9}{10}, S_{10} \approx 6,513 )
More Information
Die geometrischen Folgen sind eine wichtige Grundlage in der Mathematik, insbesondere in der Finanzmathematik und der Physik. Die Berechnung der Partialsummen hilft, das Gesamtverhalten der Folge zu verstehen.
Tips
- Verwechslung des Quotienten mit dem Unterschied in arithmetischen Folgen.
- Falsches Einsetzen in die Partialsummenformel, was zu fehlerhaften Ergebnissen führen kann.
- Übersehen der korrekten Potenz beim allgemeinen Glied.
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