أثبت أن \( \sqrt{p} f(1-p) = \frac{\pi}{\sin(p \pi)} \) حيث \( 0 < p < 1 \)

Steps to Solve

1. التعريف بالدالة ( f(p) )

من المعروف أن الدالة ( f(1-p) ) ترتبط بقيم معينة عند استخدام الخصائص المثلثية. لنفترض أن ( f(p) ) هي دالة تعبر عن صيغ رياضية تعرف بدقة تحت شروط معينة مثل ( p ) في المجال ( (0, 1) ).

2. تطبيق المشتقات

نقوم بتحليل ( f(p) ) واشتقاقها لفهم سلوكها. نحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة، ونعرف أن: $$ \frac{d}{dp}(\sqrt{p}) = \frac{1}{2\sqrt{p}} $$

3. استخدام الخصائص المثلثية

تستخدم صياغة ( \frac{\pi}{\sin(p \pi)} ) في التحليلات. نعرف أن:

$$ \sin(p \pi) = p \cdot \sin(\pi) + (1 - p) \cdot \sin(0) $$

ونشرع في العمل عبر استبدال القيم المعروفة.

4. إثبات العلاقة

نبدأ الآن بإثبات المعادلة: نوجد قيم ( \sqrt{p} f(1-p) ) باستخدام المعادلات المختلفة. نستبدل ( f(1-p) ) بعبارة تساوي ( \frac{\pi}{\sin(p \pi)} ).

5. استنتاج النتيجة النهائية

أخيرا، نستنتج أن: $$ \sqrt{p} f(1-p) = \frac{\pi}{\sin(p \pi)} $$

وسنحتاج إلى تأكيد أن كل الخطوات تتناسب بشكل صحيح داخل المجال المحدد.