أثبت أن \( \sqrt{(p)} f(1-p) = \frac{\pi}{\sin p \pi} \text{ لـ } 0 < p < 1 \)

Steps to Solve

1. المعادلة المطلوبة
   نبدأ من المعادلة التي نريد إثباتها:
   $$ \sqrt{p} f(1-p) = \frac{\pi}{\sin(p \pi)} \text{ لـ } 0 < p < 1 $$

2. تنظيف المعادلة
   نقوم بتحديد كيفية تعريف الدالة $f(x)$ للاحتفاظ بالمعادلة بسيطة. عادة، يمكن أن يعبر عن الدالة $f(x)$ عن طريق معادلات معينة أو دوال معروفة.

3. تطبيق صيغة جول
   نستفيد من صيغة جول (Gauss’s theorem أو Legendre duplication formula):
   $$ \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)} $$
   نستبدل القيمة (1-p) بـ (1) و p بـ (p) لقيم مختلفة.

4. الاستنتاج
   نقوم بتطبيق صيغة جول على المعادلة المطلوب إثباتها، لنحصل على:
   $$ \sqrt{p} f(1-p) = \sqrt{p} \cdot \frac{\Gamma(p) \Gamma(1-p)}{\Gamma(1)} $$
   ونعوض بـ $\Gamma$ من الصيغة السابقة لتحقيق المعادلة النهائية والثابتة.

5. التحقق من القيم
   نقوم بالتحقق بأن $0 < p < 1$ يضمن أن القيم في النطاق مناسب، مما يضمن أن المعادلة صحيحة ضمن هذا النطاق.