أوجد قيمة cscθ إذا كان tanθ > 0 وsecθ = -6/5.

Steps to Solve

1. فهم القيم المعطاة

نعلم أن $secθ = -\frac{6}{5}$. وبما أن $secθ = \frac{1}{cosθ}$، يمكننا استنتاج قيمة $cosθ$:

$$ cosθ = -\frac{5}{6} $$

2. تحديد الربع المناسب

نظرًا لأن $secθ$ سالب و $tanθ$ موجب، فهذا يعني أننا في الربع الثاني حيث $cosθ < 0$ و $sinθ > 0$.

3. استخدام معادلة فيثاغورس

يمكننا استخدام معادلة فيثاغورس لإيجاد $sinθ$. نستخدم العلاقة:

$$ sin^2θ + cos^2θ = 1 $$

نستبدل $cosθ$:

$$ sin^2θ + \left(-\frac{5}{6}\right)^2 = 1 $$

4. تبسيط المعادلة

نقوم بتبسيط المعادلة:

$$ sin^2θ + \frac{25}{36} = 1 $$

$$ sin^2θ = 1 - \frac{25}{36} $$

$$ sin^2θ = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} $$

5. إيجاد قيمة sinθ

نأخذ الجذر التربيعي:

$$ sinθ = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6} $$

6. حساب قيمة cscθ

نعلم أن:

$$ cscθ = \frac{1}{sinθ} $$

لذلك:

$$ cscθ = \frac{1}{\frac{\sqrt{11}}{6}} = \frac{6}{\sqrt{11}} $$