أوجد المعطيات باستخدام tan θ و cos θ بناء مثلث مرجعي. tan θ < 0 و sin θ = 3/7.

Steps to Solve

1. تحديد النسبة المثلثية المعطاة

لدينا $\sin \theta = \frac{3}{7}$. يمكننا استخدام هذه المعلومة لتكوين مثلث.

2. إيجاد الوتر

نعتبر أن قيمة $\sin \theta$ هي نسبة الضلع المقابل إلى الوتر. إذا افترضنا أن الضلع المقابل هو 3 (مقدار) والحجم الكلي للوتر هو 7 (مقدار)، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المجاور.

3. تطبيق نظرية فيثاغورس

باستخدام نظرية فيثاغورس: $$ c^2 = a^2 + b^2 $$ حيث:

• $c$ هو الوتر (7)
• $a$ هو الضلع المقابل (3)
• $b$ هو الضلع المجاور

نستبدل القيم: $$ 7^2 = 3^2 + b^2 $$ $$ 49 = 9 + b^2 $$ لذا، $$ b^2 = 40 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $$

4. تحديد $ \cos \theta$ و $ \tan \theta$

الآن نحسب قيمة $\cos \theta$: $$ \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{b}{c} = \frac{2\sqrt{10}}{7} $$

وبما أن $tan \theta < 0$، إذن يجب أن نكون في الربع الثالث حيث يكون كل من $\sin \theta$ و $\tan \theta$ سالبان. لذا: $$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{2\sqrt{10}}{7}} = \frac{3}{2\sqrt{10}} $$

5. تأكيد القيم

مع القيم التي حصلنا عليها، يكون:

• $ \sin \theta = \frac{3}{7}$
• $ \cos \theta = -\frac{2\sqrt{10}}{7}$ (سالب لأننا في الربع الثالث)
• $ \tan \theta = -\frac{3}{2\sqrt{10}}$ (سالب لأننا في الربع الثالث)