اگر X متغیر تصادفی نمایی با پارامتر β بوده و c عددی در بازه [0 , 1] باشد، مقدار احتمال P(X < -β ln(1 - c) چه قدر است؟ اگر X متغیر تصادفی نمایی با پارامتر β بوده و c عددی در بازه [0 , 1] باشد، مقدار احتمال P(X < -β ln(1 - c) چه قدر است؟
Understand the Problem
سوال به دنبال محاسبه احتمال یک متغیر تصادفی X است که تحت پارامترهای خاص β و c تعریف شده است. این محاسبه شامل درک توزیع متغیر تصادفی و استفاده از قوانین احتمال است.
Answer
$P(X < -\beta \ln(1 - c)) = c$
Answer for screen readers
مقدار احتمال $P(X < -\beta \ln(1 - c))$ برابر با $c$ است.
Steps to Solve
- درک توزیع نمایی
متغیر تصادفی $X$ که با توزیع نمایی تعریف شده است، دارای تابع چگالی احتمال به صورت زیر است:
$$ f(x) = \frac{1}{\beta} e^{-\frac{x}{\beta}} \quad \text{برای} ; x \geq 0 $$
- محاسبه احتمال مورد نظر
برای محاسبه احتمال $P(X < -\beta \ln(1 - c))$، ابتدا باید $-\beta \ln(1 - c)$ را بررسی کنیم.
- استفاده از تابع توزیع انباشته
احتمال $P(X < x)$ برای متغیر تصادفی نمایی به شکل زیر محاسبه می‌شود:
$$ P(X < x) = 1 - e^{-\frac{x}{\beta}} $$
- جایگذاری مقدار در احتمال
حالا مقدار $x$ را به صورت $-\beta \ln(1 - c)$ جایگذاری می‌کنیم:
$$ P(X < -\beta \ln(1 - c)) = 1 - e^{-\frac{-\beta \ln(1 - c)}{\beta}} $$
- کاهش معادله
معادله را ساده می‌کنیم:
$$ P(X < -\beta \ln(1 - c)) = 1 - e^{\ln(1 - c)} $$
- نهایتا نتیجه گیری
از خاصیت لگاریتم و exponetial، نتیجه داریم:
$$ P(X < -\beta \ln(1 - c)) = 1 - (1 - c) = c $$
مقدار احتمال $P(X < -\beta \ln(1 - c))$ برابر با $c$ است.
More Information
این نتیجه نشان می‌دهد که احتمال وقوع این رویداد برای یک متغیر تصادفی نمایی به سادگی برابر با مقدار $c$ است، که یک خاصیت جالب در توزیع نمایی است.
Tips
- غلط گرفتن معادله‌های $e$ و $\ln$: باید دقت کنید که به خاطر خاصیت‌های لگاریتم و تابع نمایی، جابجایی‌ها به سادگی میسر است.
- فراموش کردن محدودیت‌ها: در نظر گرفتن محدودیت‌های پارامترها بسیار مهم است.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
