اگر سهمی y=x²+x+m همواره زیر خط y=2 واقع شود حدود m کدام است؟

Steps to Solve

1. بررسی نقاط تلاقی دو تابع

برای اینکه سهمی $y = x^2 + x + m$ همیشه زیر خط $y = 2$ باشد، باید برای هر $x$، $x^2 + x + m < 2$ برقرار باشد. این شرط را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ x^2 + x + m < 2 $$

2. تنظیم نامساوی به فرم استاندارد

برای سادگی، این نامساوی را تغییر می‌دهیم:

$$ x^2 + x + m - 2 < 0 $$

که معادله‌ی ما به شکل زیر در می‌آید:

$$ x^2 + x + (m - 2) < 0 $$

3. تحلیل دلتا (Δ)

برای اینکه تابع سهمی همیشه منفی باشد، نیاز است که دلتا (Δ) معادله $x^2 + x + (m - 2)$ کمتر از صفر باشد. دلتا به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

که در اینجا $a = 1$, $b = 1$, و $c = m - 2$ داریم. بنابراین:

$$ \Delta = 1^2 - 4(1)(m - 2) $$

این را حل می‌کنیم:

$$ \Delta = 1 - 4(m - 2) $$

4. تنظیم نامساوی دلتا

برای اینکه سهمی همیشه منفی باشد، دلتا باید کمتر از صفر باشد:

$$ 1 - 4(m - 2) < 0 $$

حالا این نامساوی را حل میکنیم:

$$ 1 < 4(m - 2) $$

$$ \frac{1}{4} < m - 2 $$

$$ m > 2 + \frac{1}{4} $$

5. نتیجه‌گیری

پس در نهایت می‌توانیم نتیجه بگیریم که:

$$ m > \frac{9}{4} $$

این یعنی هر مقدار m که بزرگ‌تر از $\frac{9}{4}$ باشد باعث می‌شود سهمی همیشه زیر خط $y = 2$ باشد.