اگر سهمی y=x²+x+m همواره زیر خط y=2 واقع شود حدود m کدام است؟
Understand the Problem
این سوال از ما می‌خواهد که حدودی برای m پیدا کنیم به طوری که سهمی به فرم y=x²+x+m همواره زیر خط y=2 باشد. این بدان معنی است که ما باید شرایطی را بررسی کنیم که در آن y=2 همیشه بزرگتر از مقدار y=x²+x+m باشد.
Answer
$m > \frac{9}{4}$
Answer for screen readers
$m > \frac{9}{4}$
Steps to Solve
-
بررسی تابع سهمی ما داریم تابع سهمی به شکل $y = x^2 + x + m$ و باید شرایطی پیدا کنیم که این تابع همیشه زیر خط افقی $y = 2$ باشد. بنابراین، باید این برابری را حل کنیم: $$ x^2 + x + m < 2 $$
-
تنظیم و ساده‌سازی نابرابری نابرابری بالا را ما به این شکل تنظیم می‌کنیم تا به حدی نزدیک شود که بتوانیم تحلیل کنیم: $$ x^2 + x + m - 2 < 0 $$ یا به عبارتی: $$ x^2 + x + (m - 2) < 0 $$
-
شناسایی قضیه‌ای و بررسی دلتای سهمی حالا فرمول سهمی را می‌بینیم، که از نظر دلتای آن بررسی خواهیم کرد. برای اینکه تابع زیر خط افقی باشد، دلتای آن باید کمتر از صفر باشد. داریم: $$ \Delta = b^2 - 4ac $$ که در اینجا $a = 1$, $b = 1$, و $c = m - 2$ هستند. پس: $$ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) $$
-
حل برای دلتای منفی حال دلتای را کمتر از صفر می‌گذاریم و حل می‌کنیم: $$ 1 - 4(m - 2) < 0 $$ ساده‌سازی می‌کنیم: $$ 1 - 4m + 8 < 0 $$ $$ 9 < 4m $$ $$ m > \frac{9}{4} $$
-
نتیجه‌گیری بنابراین مقدار m باید بیشتر از $\frac{9}{4}$ باشد تا سهمی همواره زیر خط $y = 2$ باشد.
$m > \frac{9}{4}$
More Information
این نتیجه نشان می‌دهد که برای هر مقدار بزرگتر از $\frac{9}{4}$، تابع سهمی $y = x^2 + x + m$ همیشه زیر خط $y = 2$ قرار می‌گیرد.
Tips
- نادیده گرفتن این نکته که برای هدف ما، مقدار دلتای سهمی باید منفی باشد. بررسی دلتای با درست بودن عبارات و معادلات بسیار مهم است.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
