A integral \( \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{dx}{x \sqrt{4 - x^{2}}} \) converge e seu valor é:

Steps to Solve

1. Identificar a integral
   A integral a ser avaliada é
   $$ I = \int_{1/2}^{2} \frac{dx}{x \sqrt{4 - x^2}} $$

2. Verificar a convergência
   A função tem um limite no denominador $x \sqrt{4 - x^2}$. Para os limites de integração, precisamos verificar se a função se torna indefinida em $x = 0$ e $x = 2$. No intervalo $[1/2, 2]$, a função não apresenta problemas de convergência.

3. Substituição para simplificação
   Vamos usar a substituição $x = 2\sin(t)$, onde $dx = 2\cos(t)dt$.
   Assim, a integral se torna:
   $$ I = \int \frac{2\cos(t)dt}{2\sin(t)\sqrt{4 - 4\sin^2(t)}} = \int \frac{\cos(t)dt}{\sin(t)\cos(t)} = \int \frac{dt}{\sin(t)} $$
   Os limites de integração se ajustam para $t_1 = \sin^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ e $t_2 = \frac{\pi}{2}$.

4. Avaliar a integral
   A integral se torna:
   $$ I = \int_{t_1}^{\pi/2} \csc(t) dt = -\ln\left|\csc(t) + \cot(t)\right| \bigg|_{t_1}^{\pi/2} $$

5. Substituir os limites
   Calculando os limites, obtemos:
   $$ I = -\ln\left(\csc\left(\pi/2\right) + \cot\left(\pi/2\right)\right) + \ln\left(\csc(t_1) + \cot(t_1)\right) $$
   Sabendo que $\csc(\pi/2) = 1$ e $\cot(\pi/2) = 0$, teremos
   $$ I = \ln\left(\csc(t_1) + \cot(t_1)\right) $$

6. Cálculo final
   Para $t_1 = \sin^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$, calculamos:
   $$ \csc(t_1) = \frac{1}{\sin(t_1)} = 4 $$
   Portanto,
   $$ I = \ln(4 + \sqrt{15}) $$

7. Resultado
   Portanto, o valor da integral é:
   $$ \frac{1}{2} \ln(4 + \sqrt{15}) $$