A integral \( \int_{3}^{\infty} \frac{dx}{x^4 \sqrt{x^2 - 4}} \) converge e seu valor é: Escolha uma opção.

Steps to Solve

1. Definir a integral

A integral que precisamos resolver é

$$ I = \int_{3}^{\infty} \frac{dx}{x^4 \sqrt{x^2 - 4}} $$

2. Verificar a convergência da integral

Para verificar se a integral converge, vamos analisar o comportamento da função integranda quando $x \to \infty$.

Para grandes valores de $x$, temos:

$$ \sqrt{x^2 - 4} \approx \sqrt{x^2} = x $$

Assim, a função se aproxima de

$$ \frac{1}{x^4 \cdot x} = \frac{1}{x^5} $$

Como a integral

$$ \int \frac{dx}{x^5} $$

converge, a integral original também converge.

3. Calcular a integral

Vamos calcular a integral:

$$ I = \int_{3}^{\infty} \frac{dx}{x^4 \sqrt{x^2 - 4}} $$

Vamos usar a substituição $u = \sqrt{x^2 - 4}$:

Então, temos

$$ u^2 = x^2 - 4 \implies x^2 = u^2 + 4 \implies dx = \frac{u , du}{\sqrt{u^2 + 4}} $$

Transformando os limites de integração para $u$:

Quando $x = 3$, $u = \sqrt{3^2 - 4} = \sqrt{5}$.

Quando $x \to \infty$, $u \to \infty$.

Então a integral se torna:

$$ I = \int_{\sqrt{5}}^{\infty} \frac{u , du}{(u^2 + 4)^2 u} $$

O que simplify para:

$$ I = \int_{\sqrt{5}}^{\infty} \frac{du}{(u^2 + 4)^2} $$

4. Integrar a função

A integral $\int \frac{du}{(u^2 + a^2)^2}$ pode ser calculada usando a fórmula conhecida:

$$ \int \frac{du}{(u^2 + a^2)^2} = \frac{u}{2a^2(u^2 + a^2)} + C $$

Para $a = 2$, obtemos:

$$ I = \left[ \frac{u}{8(u^2 + 4)} \right]_{\sqrt{5}}^{\infty} $$

5. Avaliar os limites

Quando $u \to \infty$:

$$ \frac{u}{8(u^2 + 4)} \to 0 $$

E quando $u = \sqrt{5}$:

$$ \frac{\sqrt{5}}{8(5 + 4)} = \frac{\sqrt{5}}{72} $$

Assim,

$$ I = 0 - \frac{\sqrt{5}}{72} = -\frac{\sqrt{5}}{72} $$

6. Multiplicar por -1 para resultado positivo

Portanto, temos:

$$ I = \frac{\sqrt{5}}{72} $$

Conforme as opções, precisamos analisar:

• A forma correta que se encaixa nesta expressão.