1) Soit (G1,T) un groupe commutatif, G2 un ensemble muni d'une loi de composition interne ⊥ et f une application bijective de G1 dans G2 telle que : ∀ x1, x2 ∈ G1, f(x1 ⊥ x2) = f(x... 1) Soit (G1,T) un groupe commutatif, G2 un ensemble muni d'une loi de composition interne ⊥ et f une application bijective de G1 dans G2 telle que : ∀ x1, x2 ∈ G1, f(x1 ⊥ x2) = f(x1) ⊥ f(x2). 1.1) Montrer que (G2,⊥) est un groupe commutatif. 2) Soient H1 un sous-groupe de (G1,T), H2 un sous-groupe de (G2,⊥). 2.1) Montrer que f(H1) et f⁻¹(H2) sont respectivement des sous-groupes de (G1,T) et (G2,⊥). 3) On pose (G1,T) = (ℝ*, +), (G2,⊥) = (ℝ, ·) et g(x) = ln(x). 3.1) g est-elle un isomorphisme de (ℝ*, ·) dans (ℝ, +)? Justifier votre réponse. 3.2) Quelle est l'application réciproque g⁻¹ de g? 3.3) g⁻¹ est-elle un isomorphisme de (ℝ, +) dans (ℝ*, ·)? 3.4) Trouver le noyau de g (Kerg), l'image de g (Img g) et g⁻¹ ∘ g. 4) Soit * la loi-produit définie dans G1 × G2 par : ∀ (x,y), (x′,y′) ∈ G1 × G2, (x,y) * (x′,y′) = (x ⊥ x′, y ⊥ y′). 1) Montrer que (G1 × G2, *) est un groupe commutatif. 2) Montrer que H1 × H2 est un sous-groupe de G1 × G2. N.B. H1 et H2 sont définis dans la deuxième question. Read more

Steps to Solve

1. Montrer que $(G_2, \perp)$ est un groupe commutatif

On doit prouver que $(G_2, \perp)$ satisfait les propriétés d'un groupe commutatif. Cela implique de vérifier :

• L'existence d'un élément neutre
• L'association de la loi de composition interne
• La commutativité.

$$ \forall x_1, x_2 \in G_1, f(x_1 \perp x_2) = f(x_1) \perp f(x_2) $$

2. Montrer que $f(H_1)$ et $f^{-1}(H_2)$ sont des sous-groupes

Pour montrer que $f(H_1)$ est un sous-groupe de $(G_2, \perp)$, on doit vérifier:

• Que $f(H_1)$ contient l'élément neutre de $G_2$,
• Que $f(H_1)$ est stable par l'opération $\perp$,
• Que $f(H_1)$ est fermé sous l'opération inverse.

3. Vérifier le fait que $g$ est un isomorphisme

On doit prouver que :

• $g$ est bijectif
• $g$ préserve la structure de groupe, c'est-à-dire, que pour tous $x, y \in \mathbb{R}^*$ :

$$ g(x \cdot y) = g(x) + g(y) $$

4. Trouver le noyau de $Kerg$ et l'image de $Img$

Le noyau est défini par : $$ Kerg = { x \in G_1 \mid g(x) = e } $$ où $e$ est l'élément neutre dans l'ensemble d'arrivée.

L'image est définie par : $$ Img = g(G_1) $$

5. Montrer que $(G_1 \times G_2, \star)$ est un groupe commutatif

Ici, on prouve que pour $(x, y) * (x', y') = (x \perp x', y \star y')$.

• Vérifier l'associativité,
• Existence de l'élément neutre,
• Vérifier la commutativité.