1. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≤ 2.13]. 2. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≤ 3.6]. 3. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≥ 1.51]... 1. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≤ 2.13]. 2. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≤ 3.6]. 3. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≥ 1.51]. 4. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[1.99 ≤ X ≤ 2]. 5. On suppose que Z la variable aléatoire définie par Z = (X - 84) / σ, avec X suit N(0;1). 5.1 Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ? 5.2 Justifier que P(X ≤ 64) = P(Z ≤ -20 / σ) 5.3 En déduire la valeur de σ. Read more

Steps to Solve

1. Calcul de $P(X \leq 2.13)$

   Pour trouver cette probabilité, nous devons utiliser la table de la fonction de distribution cumulative (CDF) pour la loi normale standard $N(0, 1)$. La CDF pour $X \leq 2.13$ est donnée par $P(X \leq 2.13) = \Phi(2.13)$.

2. Calcul de $P(X \leq 3.6)$

   De manière similaire, on utilise la CDF pour $X \leq 3.6$: $$P(X \leq 3.6) = \Phi(3.6)$$

3. Calcul de $P(X \geq 1.51)$

   Pour trouver cette probabilité, on utilise la complémentarité: $$P(X \geq 1.51) = 1 - P(X < 1.51) = 1 - \Phi(1.51)$$

4. Calcul de $P(1.99 < X < 2)$

   Ici, on utilise la CDF pour trouver la probabilité dans l'intervalle: $$P(1.99 < X < 2) = P(X < 2) - P(X \leq 1.99) = \Phi(2) - \Phi(1.99)$$

5. Identifying the law for Z

   Comme $Z$ est défini par $Z = \frac{X - 84}{\sigma}$ avec $X \sim N(0, 1)$, alors $Z$ suit une loi normale, mais avec une moyenne décalée. Pour déterminer la loi, notez qu'une variable centrée et réduite donne une loi normale standard.

6. Justification de $P(X \leq 64) = P(Z \leq -\frac{20}{\sigma})$

   Pour cette partie, transformons $P(X \leq 64)$ à l'aide de la définition de $Z$. $X \leq 64$ peut être réécrit comme une condition sur $Z$.

7. Équation pour déduire $\sigma$

   On peut égaler les deux probabilités pour trouver $\sigma$: $$ P(X \leq 64) = P(Z \leq -\frac{20}{\sigma}) $$