1. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≤ 2.13]. 2. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≤ 3.6]. 3. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≥ 1.51]... 1. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≤ 2.13]. 2. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≤ 3.6]. 3. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[X ≥ 1.51]. 4. On suppose que X suit la loi N(0;1). Trouver P[1.99 ≤ X ≤ 2]. 5. On suppose que Z la variable aléatoire définie par Z = (X - 84) / σ, avec X suivant N(0;1). 5.1 Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ? 5.2 Justifier que P(X ≤ 64) = P(Z ≤ -20/σ). 5.3 En déduire la valeur de σ. Read more

Steps to Solve

1. Calculer P[X ≤ 2.13] Pour une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale $N(0;1)$, nous utilisons une table de la loi normale ou une calculatrice. Nous cherchons la valeur cumulative pour $X = 2.13$.

2. Calculer P[X ≤ 3.6] De même, pour $X = 3.6$, nous utilisons la table de la loi normale pour obtenir la probabilité.

3. Calculer P[X ≥ 1.51] Pour trouver $P[X \geq 1.51]$, on utilise la relation : $$ P[X \geq 1.51] = 1 - P[X < 1.51] $$ On recherche dans la table pour $X = 1.51$ puis on soustrait cette valeur de 1.

4. Calculer P[1.99 ≤ X ≤ 2] La probabilité est donnée par : $$ P[1.99 \leq X \leq 2] = P[X \leq 2] - P[X < 1.99] $$ Nous trouvons ces deux valeurs dans la table de la loi normale.

5. Analyser Z = (X - 84) / σ 5.1 Définir la loi de probabilité de Z Puisque $X$ suit $N(0;1)$, $Z$ suit $N(0;1)$ aussi en raison de la transformation linéaire.

5.2 Justification pour P(X ≤ 64) = P(Z ≤ -20/σ) Nous devons exprimer $X$ en fonction de $Z$ : $$ P(X \leq 64) = P\left(Z \leq \frac{64 - 84}{\sigma}\right) = P\left(Z \leq -\frac{20}{\sigma}\right) $$

5.3 Déterminer la valeur de σ En utilisant les résultats des probabilités dans la deuxième partie, on peut substituer les valeurs connues pour trouver $\sigma$ en résolvant l'équation basée sur la loi normale.