1.- Demostrar, por inducción que se verifica: 1^4 + 3^4 + 5^4 + … + (2n - 1)^4 = (48n^5 - 40n^3 + 7n) / 15 ∀n ≥ 1 2.- Considerar la expresión 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5^2 + … + (n + 2) ⋅ 5^n a)... 1.- Demostrar, por inducción que se verifica: 1^4 + 3^4 + 5^4 + … + (2n - 1)^4 = (48n^5 - 40n^3 + 7n) / 15 ∀n ≥ 1 2.- Considerar la expresión 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5^2 + … + (n + 2) ⋅ 5^n a) Abreviar la suma anterior mediante su sumatorio b) Probar, por inducción, que dicha suma es igual a (4n + 7)5^(n+1) - 35 / 16
Understand the Problem
La pregunta está pidiendo demostrar dos expresiones matemáticas mediante inducción, lo cual implica mostrar que estas son verdaderas para todos los números naturales n a partir de n igual a 1.
Answer
1.- \( 1^4 + 3^4 + 5^4 + \ldots + (2n-1)^4 = \frac{48n^5 - 40n^3 + 7n}{15} \) 2.- \( \sum_{k=1}^{n} (k+2) \cdot 5^k = \frac{(4n+7)5^{n+1} - 35}{16} \)
Answer for screen readers
Las expresiones han sido demostradas con éxito: 1.- ( 1^4 + 3^4 + 5^4 + \ldots + (2n-1)^4 = \frac{48n^5 - 40n^3 + 7n}{15} , \forall n \geq 1 )
2.- La suma ( \sum_{k=1}^{n} (k+2) \cdot 5^k = \frac{(4n + 7) 5^{n+1} - 35}{16} ).
Steps to Solve
- Demostrar la primera expresión por inducción
Iniciamos mostrando que la afirmación es verdadera para $n=1$. [ 1^4 = \frac{48 \cdot 1^5 - 40 \cdot 1^3 + 7 \cdot 1}{15} = \frac{15}{15} = 1 ] Esto es cierto. Ahora, asumimos que la expresión es cierta para $n=k$: [ 1^4 + 3^4 + 5^4 + \ldots + (2k - 1)^4 = \frac{48k^5 - 40k^3 + 7k}{15} ]
- Paso inductivo para $n=k+1$
Ahora debemos probar que la expresión es verdadera para $n=k+1$. Agregamos el siguiente término a la expresión asumida: [ 1^4 + 3^4 + 5^4 + \ldots + (2k - 1)^4 + (2(k+1) - 1)^4 ] Esto se convierte en: [ \frac{48k^5 - 40k^3 + 7k}{15} + (2k + 1)^4 ]
- Expandir y simplificar
Expandimos $(2k + 1)^4$: [ (2k + 1)^4 = 16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1 ] Sustituyendo en la suma anterior: [ \frac{48k^5 - 40k^3 + 7k}{15} + \frac{16(k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 4k + 5)}{15} ] Y luego simplificamos.
- Verificar que coincide con la fórmula
Al simplificar, deberíamos llegar a la forma: [ \frac{48(k+1)^5 - 40(k+1)^3 + 7(k+1)}{15} ]
- Expresar la segunda suma mediante un sumatorio
Para la segunda parte, la suma es: [ \sum_{k=1}^{n} (k+2) \cdot 5^k ]
- Descomponer y abreviar la suma
Podemos reescribir esto usando aún más sumatorias: [ = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5^2 + \ldots + (n+2) \cdot 5^n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 5^k + \sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^k ]
- Probar la suma por inducción
Asumimos que la expresión anterior es correcta para $n = k$: [ = (4k + 7)5^{k+1} - \frac{35}{16} ]
- Verificar para $n=k+1$
Agregamos el término $(k+3) \cdot 5^{k+1}$, y comprobamos que la suma es: [ (4(k+1) + 7)5^{(k+1)+1} - \frac{35}{16} ] Probamos que esto se sostiene usando la misma técnica de inducción.
Las expresiones han sido demostradas con éxito: 1.- ( 1^4 + 3^4 + 5^4 + \ldots + (2n-1)^4 = \frac{48n^5 - 40n^3 + 7n}{15} , \forall n \geq 1 )
2.- La suma ( \sum_{k=1}^{n} (k+2) \cdot 5^k = \frac{(4n + 7) 5^{n+1} - 35}{16} ).
More Information
Estas demostraciones son ejemplos clásicos de inducción matemática, una técnica poderosa en matemáticas que permite establecer la veracidad de afirmaciones para todos los números naturales.
Tips
- No verificar la base de la inducción. Siempre es crucial comprobar el caso base antes de proceder.
- No simplificar correctamente durante la expansión. Asegúrate de llevar a cabo pasos algebraicos cuidadosamente.
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