Zeitreihen und dynamische Regressionsmodelle

Zeitreihen und dynamische Regressionsmodelle

• Basismodelle werden zur Modellierung der Dynamik makroökonomischer Variablen verwendet.
• Zunächst werden Grundbegriffe und univariate Modelle erläutert.
• Univariate Modelle eignen sich für die Verdeutlichung wichtiger Konzepte und die kurzfristige Prognose.
• Kontemporär exogene Regressoren werden eingeführt, und Modelle zur Anpassungsdynamik an exogene Variablensänderungen diskutiert.

Univariate Zeitreihenmodelle

• Eine Zeitreihe ist eine Folge von Beobachtungen (Y₁, Y₂, ..., Yₜ).
• Jede Beobachtung (yₜ) ist eine Zufallsvariable.
• Eine Zeitreihe ist eine Folge von zeitlich geordneten Zufallsvariablen.
• Eine solche Folge wird als stochastischer Prozess bezeichnet (ex ante betrachtet).
• Die beobachtete Zeitreihe ist eine mögliche Realisierung des stochastischen Prozesses (ex post betrachtet).

Weißes Rauschen

• Ein einfacher stochastischer Prozess ist weißes Rauschen (white noise).
• Weißes Rauschen ist ein stochastischer Prozess, bei dem die Beobachtungen unabhängig und identisch verteilt sind mit konstanter Varianz und Mittelwert null.
• Weißes Rauschen wird oft durch zeitliche Unkorreliertheit anstatt Unabhängigkeit definiert, was für praktische Zwecke im Wesentlichen dasselbe ist.
• Weißes Rauschen ist kein brauchbares Modell für makroökonomische Zeitreihen, da aufeinanderfolgende Beobachtungen in der Regel korreliert sind.

Stationarität

• Die vorgestellten Methoden sind für stationäre stochastische Prozesse geeignet.
• Ein stochastischer Prozess ist (streng) stationär, wenn seine Eigenschaften durch eine Verschiebung des Anfangszeitpunktes nicht beeinflusst werden. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann zeitunabhängig.
• Ein stochastischer Prozess ist schwach stationär (kovarianzstationär), wenn Erwartungswert, Varianz und Autokovarianz zur Verzögerung k zeitunabhängig (konstant) sind.
• Wichtig: Makroökonomische Zeitreihen sind häufig nicht stationär, daher sind Transformationen nötig.

Trends und Stationarität

• Viele makroökonomische Zeitreihen weisen Trends auf und sind daher nicht-stationär.
• Um Stationarität zu erzielen, müssen Daten transformiert werden.
• Eine Möglichkeit besteht darin, einen deterministischen Trend zu unterstellen und ihn durch OLS zu entfernen.

Wold-Zerlegung und Impuls-Antwortfunktion

• Makroökonomische Zeitreihen können als gewichtete Durchschnitte von weißen Rauschen dargestellt werden.
• Die formale Grundlage ist das Wold-Zerlegungssatz.
• Die ökonomische Interpretation dieses Modells kann mit der Sichtweise einer Impuls-Antwortfunktion betrachtet werden.
• Die Parameter geben die zeitliche Reaktion der Konjunktur auf einen makroekonomischen Schock an (wie z. B. Output Gap).
• Die Impuls-Antwortfunktionen zeigen die zeitliche Reaktion einer Variablen auf einen Schock.

Autoregressive Prozesse (AR)

• Autoregressive (AR) Prozesse sind die einfachste und nützlichste Modellklasse.
• Ein AR(1) Prozess ist durch Yt = ayt−1 + ɛt definiert, wobei a ein Parameter und ɛt weißes Rauschen ist.
• Dieser Prozess ist stationär, falls |a| < 1, da dies eine geometrisch abnehmende Impulsantwort erzeugt.
• AR Prozess kann als Funktion von früheren Werten dargestellt werden. Die Dynamik über die Zeit wird mit den Parametern a₁ ,a₂ usw. dargestellt

Schätzung von AR(p) Modellen

• Die Parameter der Impuls-Antwortfunktion lassen sich nicht direkt schätzen.
• Die Zeitreihenanalyse stellt jedoch Modelle zur Verfügung, mit denen die Parameter indirekt geschätzt werden können.
• Die einfachste und nützlichste Klasse von Modellen sind autoregressive Prozesse.

Modellwahl

• Um die Ordnung (p) eines AR-Modells zu bestimmen, werden Verfahren wie die empirische Autokorrelationsfunktion (ACF) und die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) verwendet.
• Die ACF misst den Korrelationskoeffizienten zwischen yt und yt−k.
• Die PACF misst den Korrelationskoeffizienten zwischen yt und yt−k, wobei vorherige Korrelationen eliminiert werden.
• Für einen adäquaten AR-Prozess erwarten sich geometrische Ausklingeneigenschaften in der ACF und der PACF.

Prognose

• Die optimale Prognose von yₜ₊h ist der bedingte Erwartungswert von yₜ₊h, gegeben die verfügbaren Informationen zum Zeitpunkt t (z.B. gegenwärtige und vergangene Realisationen der Variablen).
• Einschritt- und Zweischritt-Prognosen können iterativ berechnet werden.

Dynamische Regressionsmodelle

• Die Fragestellung stellt fest, wie die Dynamik des Zusammenhangs zwischen abhängiger Variablen (yₜ) und erklärenden Variablen (xₜ) erfasst werden kann.
• Dynamik bedeutet, dass es verzögerte Zusammenhänge zwischen den Variablen gibt.
• Die Wirkung einer Änderung in xₜ verteilen sich über die Zeit.

Endliche distributed lags

• Dynamische Zusammenhänge können vereinfacht mit Modellen der Form Yt = Σ(βi Xi-i) +Et dargestellt werden.
• Die Parameterfolge β₀, β₁, …, βq gibt die Impulsantwort von yₜ auf eine Änderung in xₜ.

Partielle Anpassung

• Eine Möglichkeit die Dynamik darzustellen ist mittels partieller Anpassung (partial-adjustment-modelle).
• Mit der Taylor Regel kann partieller Anpassung deutlich gemacht werden.
• Der Anpassungsparameter 0 < (1-α) < 1 misst das Verhältnis des Abstandes, welcher zum tatsächlichen y_{t - 1} Wert existiert.
• Der Effekt einer permanenten Änderung in xₜ ist gegebenen durch die Parameterfolge a,β₀.

Autoregressive distributed lags (ADL)

• ADL-Modelle sind allgemeiner als die distributed lag Modelle, da sie zeitliche Abhängigkeiten der erklärenden Variablen (xₜ) berücksichtigen.
• ADL-Modelle ermöglichen eine unrestringierte Anpassungsdynamik zwischen xₜ und yₜ.

In diesem Quiz lernen Sie die Grundlagen univariater Zeitreihenmodelle und deren Anwendung zur Modellierung makroökonomischer Variablen kennen. Es werden wichtige Konzepte der Dynamik sowie die Einführung von kontemporär exogenen Regresso­ren behandelt. Testen Sie Ihr Wissen über diese statistischen Verfahren und deren Bedeutung für die kurzfristige Prognose.