Vorteile von Strukturgleichungsmodellen (SEM)

Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA)

• Die Präsentation behandelt die konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) im Kontext der psychologischen Diagnostik.
• Die verwendete Version ist 3.0.0 vom 14.11.2024.
• Die Präsentation wird von Prof. Dr. Ulrich Schroeders gehalten.

Literatur zur Faktorenanalyse

• Empfohlene Literatur von Gäde, J. C., Schermelleh-Engel, K., & Brandt, H. (2020) zum Thema konfirmatorische Faktorenanalyse, erhältlich bei Springer.

Vorteile von Strukturgleichungsmodellen (SEM)

• Modelle in der wissenschaftlichen Forschung sind oft hypothetischer Natur und basieren auf theoretischen, uneindeutigen und nicht direkt messbaren Konstrukten.
• SEM berücksichtigen Messfehler in allen beobachteten Variablen (UV und AV), im Gegensatz zur Regressionsanalyse, die Messfehler in den UV ignoriert.
• SEM ermöglicht die Entwicklung, Schätzung und Testung komplexer multivariater Modelle, da es keine klare Trennung zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen gibt.
• Theorien können empirisch getestet und durch Falsifikation von Modellen zurückgewiesen werden.
• Die Annahme der Regressionsanalyse, dass ein beobachteter Wert den wahren Wert einer Person darstellt, wird als fraglich betrachtet.
• Der Fokus liegt auf Items (Kovarianzen) und nicht auf Personen (Abweichungsquadrate in Regressionen); die Eingabe erfolgt über eine Varianz-Kovarianzmatrix.
• Die Schätzung von Standardfehlern wird vereinfacht.

Grundbegriffe SEM

• Manifeste Variable: Ein beobachtbarer Indikator.
• Latente Variable: Hypothetische Konstrukte wie Angst, Intelligenz, etc.
• Abhängige Variable: Erhält mindestens einen Pfad von einer anderen Variablen (endogen).
• Unabhängige Variable: Emanent, erhält keinen Pfad (exogen).

Typen von SEM (1)

• Pfadanalysenmodelle enthalten nur manifeste Variablen.
• Pfadanalysenmodelle sind nur sinnvoll, wenn ohne Messfehler gemessen werden kann.
• Pfadanalysenmodelle sind ein Spezialfall des SEM, ein Strukturmodell ohne Messmodell.

Typen von SEM (2)

• Modelle konfirmatorischer Faktorenanalysen dienen zum Aufstellen von Messmodellen und sind der erste Schritt in der Modellierung von Strukturgleichungsmodellen.
• Wenn mehr als ein Konstrukt vorhanden ist, sind alle latenten Variablen korreliert.

Typen von SEM (3)

• Strukturelle Regressionsmodelle ähneln CFA, nehmen aber latente Regressionen an.
• Strukturelle Regressionsmodelle dienen dazu, Theorien zu testen oder zu widerlegen.
• Latente Veränderungsmodelle untersuchen Veränderungen im Zeitverlauf und konzentrieren sich auf Wachstum oder Abnahme in Längsschnittdaten.
• Beispiele hierfür sind Cross-Lagged-Panel-Analysen, Latent Growth Curve Models und das Latent Change Score Model.

Konfirmatorische Faktorenanalyse

• Die Folie zeigt ein Beispiel für eine konfirmatorische Faktorenanalyse mit den latenten Variablen "vis", "txt" und "spd" sowie dazugehörigen manifesten Variablen und Faktorladungen.

Parameter im regressionsanalytischen Modell

• τᵢ = αᵢ + λᵢ·η mit λᵢ = 1, wobei Υᵢ = τᵢ + εᵢ = αᵢ + λᵢ·η + εᵢ.
  • η (Eta): Latente Variable (z.B. Intelligenz).
  • τ (Tau): Wahrer Wert eines Indikators.
  • α (Alpha): Intercept (Abzissenabschnitt).
  • λ (Lambda): Steigung oder Faktorladung.
  • ε (Epsilon): Residual- oder Fehlerterm.

Essentiell τ-äquivalentes Modell

• Basisgleichung: Yᵢ = τᵢ + εᵢ.
• Y₁ = τ₁ + ε₁ wobei Y₁ = beobachteter Wert.
• Y₂ = τ₂ + ε₂ wobei τ₁ = wahrer Wert.
• Y₃ = τ₃ + ε₃ wobei εᵢ = Messfehler/Residuum.
• Das Modell nimmt an, dass sich der wahre Wert aller Personen auf einer Subskala (τᵢ) durch eine Konstante (z.B. 0.75) in Richtung des wahren Wertes einer anderen Subskala (τ₂) unterscheidet.
• τᵢ = τⱼ + αᵢⱼ, wobei Alpha eine Shifting-Konstante (= Intercept) ist.

Parameter im essentiell τ-äquivalenten Modell

• Anzahl zu schätzender Parameter: Υᵢ = αᵢ + η + εᵢ
• Gleichungssysteme:
  • Y₁ = α₁ + SCmath + ε₁.
  • Y₂ = α₂ + SCmath + ε₂.
  • Y₃ = α₃ + SCmath + ε₃.
• Anzahl beobachteter Parameter:
  • Anzahl der Variablen = n.
  • Anzahl der Kovarianzen + Anzahl der Varianzen: n * (n-1) / 2 + n = (n * (n+1)) / 2.
  • Anzahl der Intercepts (= n) → n * (n-1) / 2 + 2n.

Freiheitsgrade

• Ein Modell mit Variablen Y₁, Y₂ und Y₃ hat die Gleichung Yᵢ = αᵢ + η + εᵢ, wobei E(η) = 0.
• Verfügbare Parameter: 6.
• Parameter, die geschätzt werden müssen: 4.

Messmodelle

• Messinstrumente müssen Homogenitätsanforderungen erfüllen, um die Reliabilität bestimmen zu können, wenn mehrere Messungen eines Merkmals vorliegen.
• Diese Anforderungen sind in Messmodellen formalisiert.
• Messmodelle dienen dazu, systematische wahre Unterschiede von unsystematischen messfehlerbedingten Unterschieden zu trennen.

Genestete Struktur verschiedener Messmodelle

• τ-kongenerisch: τᵢ = αᵢ + λᵢ·η
• essentiell τ-äquivalent: τᵢ = αᵢ + η
• τ-äquivalent: τᵢ = αᵢ + η und αᵢ = αⱼ
• essentiell τ-parallel: τᵢ = αᵢ + η und Var(εᵢ) = Var(εⱼ)
• τ-parallel: τᵢ = αᵢ + η, αᵢ = αⱼ und Var(εᵢ) = Var(εⱼ)

Ein- oder mehrdimensional?

• Modellspezifikation ist eine Zeichenkette (String).
• Vorgehensweise wie bei "normalen" Regressionen mit lm.
• Kriterium ~ Prädiktor1 + Prädiktor2 + ...
• Allerdings latente Regression (=~)

cfa()-Funktion und summary()-Function

• Die cfa()-Function dient zur Modellspezifikation und Verarbeitung von Daten (Rohdaten, Varianz-Kovarianzmatrix oder Korrelationsmatrix).
• Sie berücksichtigt die MittelWertsStruktur und verwendet Schätzer (Maximum Likelihood Robust).
• Die Ausgabe umfasst standardisierte Parameterschätzungen.
• Die summary()-Function gibt ein Fit-Objekt und standardisierte Parameter zurück.

cfa()-Output – Parameterschätzung I

• Nach 15 Iterationen endet lavaan 0.6-6 normalerweise.
• Genutzte Parameter:
  • Estimator: ML (Maximum Likelihood)
  • Optimierungsverfahren: NLMINB (auf Basis von Marquardt)
  • Anzahl der freien Parameter: 20.
  • Anzahl der Beobachtungen: 1000.
• Faustregel für die Beurteilung des Modells: X²/df ≤ 2 oder 3.

Let's talk about df

• Betrachtung der Freiheitsgrade (df): df = beobachtete Parameter – geschätzte Parameter.
• Am Beispiel eines Modells:
  • Anzahl beobachteter Parameter: Varianzen (10), Kovarianzen (10*9/2=45).
  • Anzahl geschätzter Parameter: Faktorladungen (9), Varianz der latenten Variable (1), Residualvarianzen (10).
  • df = 55-20 = 35.

cfa()-Output – Parameterschätzung I (Latent Variables)

• Werte:
  • Estimate = unstandardisierte Faktorladung.
  • Std.Err = Standardfehler für die unstandardisierte Faktorladung.
  • Std.lv = Faktorladung, standardisiert an der Varianz der latenten Variable.
  • Std.all = vollständig standardisierte Faktorladung (sowohl latente als auch beobachtete Variablen sind standardisiert).
• Referenzwerte zur Orientierung:
  • λ < .00: Negative Polung?
  • |λ| < .30: Zu gering.
  • |λ| > .50: OK.
  • |λ| > .70: Gut.
  • |λ| > .95: Problematisch.

cfa()-Output – Parameterschätzung II (Intercepts)

• Für den Fall einer Gruppe ist die Schätzung der Mittelwertsstruktur in der Regel nicht notwendig, wenn die Item-Intercepts mit den beobachteten Mittelwerten geschätzt werden.

cfa()-Output – Parameterschätzung III (Varianzen)

• Es gilt die Formel: 1 – Standardisierte Faktorladung² = Standardisierte Residualvarianz.

Modellpassung

• Model-Fit Indices sind wichtig, um die Güte der Modellpassung zu beurteilen.
• Absolute Fit Indices (RMSEA, SRMR, GFI, AGFI...) evaluieren, wie gut ein a priori spezifiziertes Modell die empirischen Daten reproduziert.
• Inkrementelle Fit Indices (CFI, TLI, NFI...) vergleichen das Zielmodell mit einem restriktiveren Baseline Modell (oft ein Modell, in dem alle Variablen unkorreliert sind = Nullmodell).
• Die Höhe der Faktorladungen (Heene et al., 2011): Bei geringen Faktorladungen sind die Fit Indices nicht sinnvoll interpretierbar.
• Weitere Faktoren sind Robustheit der Schätzung, SE der Parameter und die Komplexität des Modells (Anzahl der zu schätzenden Parameter).
• Zusätzliche Argumente (fit.measures = TRUE) können in der Summary-Function ausgegeben werden.

Model fit index – χ² Test Statistik

• Durch die Multiplikation des Wertes der Diskrepanzfunktion mit der Stichprobengröße entsteht eine näherungsweise χ²-Verteilte Teststatistik.
• Je größer die Stichprobe, desto höher ist die statistische Power eines Tests, wodurch auch kleine Unterschiede zwischen den angenommenen und beobachteten Kovarianzmatrizen entdeckt werden können.
• Faustregel: x²/df ≤ 2 oder 3 gilt als guter Modellfit.

Evaluation der Modellpassung – 1-faktorielles Modell

• Relevante Kennzahlen und Richtwerte:
  • Comparative Fit Index (CFI) / Tucker-Lewis Index (TLI): ≥ .95.
  • Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA): ≤ .08.
  • Standardized Root Mean Square Residual (SRMR): ≤ .10.

Daumenregeln Modellfit

• Gütekriterien und ihre jeweiligen Schwellenwerte für einen guten und akzeptablen Modellfit.

Model Fit – RMSEA

• RMSEA (Root Mean Square Error of Approximation) quantifiziert das Ausmaß, in dem das angenommene Modell das wahre Modell repräsentiert. Werte ≤ .05 indizieren eine gute Modellpassung.

Model Fit – SRMR

• SRMR (Standardized Root Mean Square Residual) misst die mittlere standardisierte Differenz zwischen den Elementen der empirischen und modellimplizierten Kovarianzmatrix. Werte ≤ .05 indizieren gute Modellpassung.

Model Fit – CFI = Comparative Fit Index

• Das spezifizierte Modell wird mit dem Baseline-Modell (unabhängiges Modell) verglichen. Im Baseline-Modell wird für jede Variable nur die Varianz, aber keine weiteren Kovarianzen geschätzt. Der CFI testet die Verbesserung zu diesem "worst case model". Werte ≥ .95 (heterogen) bzw. ≥ .97 (homogen) werden als Indikator für gute Modellpassung gewertet

Modellimplizierte Varianz-Kovarianz-Matrix

• Die Matrix wird auf Basis der Modellparameter geschätzt; im Idealfall ist sie identisch mit der beobachteten Varianz-Kovarianz-Matrix (komplette Reproduktion). Die modellimplizierte Varianz-Kovarianz-Matrix, die in lavaan ausgegeben wird, ist der Endpunkt des Konvergenzprozesses.

Residual-Varianz-Kovarianz Matrix

• Um den Modelfit zu beurteilen, können die Residuen (d.h. die Differenz zwischen modellimplizierten und empirischen Kovarianzen) berücksichtigt werden. Standardisierte Residuen > 2.58 sind auf dem 1%-Niveau statistisch signifikant (ML Schätzer), abhängig von N.

Modifikationsindizes

• Modifikationsindizes geben Hinweise darauf, wo Modellmisfit vorliegt. Sie werden generiert mit modindices=TRUE (oder separat).
• Spalten in der Ausgabe:
  • mi: Modifikationsindex.
  • epc: Erwartete Werte der Parameteränderung.
  • sepc.lv und sepc.all: Standardisierte erwartete Änderungen.
• sepc.all liefert oft bessere Ergebnisse als mi (Whittaker, 2012).

Modellvergleich

• Vergleich verschiedener Modelle.

Zweidimensionales Modell

• Spezifikation eines zweidimensionalen Modells.

Modellvergleich genesteter Modelle

• Vergleich genesteter Modelle mithilfe des Scaled Chi-Squared Difference Tests (Satorra-Bentler-Methode).
  • Hier werden two factor mit one factor verglichen.

Bifaktormodelle

• Bifaktormodelle stammen aus der Intelligenzforschung und berücksichtigen einen dominanten, generellen Faktor sowie spezifische Faktoren.

Akquieszenzmodell

• Berücksichtigung von Zustimmungstendenzen durch Fixierung bestimmter Faktorladungen.

Dieses Quiz untersucht die Vorteile von Strukturgleichungsmodellen (SEM) gegenüber Regressionsanalysen, insbesondere im Hinblick auf Messfehler und Theorieprüfung. Es werden auch Unterschiede in den Annahmen und Anwendungsbereiche betrachtet. Testen Sie Ihr Wissen über SEM!