Strukturgleichungsmodelle (SEM)

Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA)

• Die Präsentation behandelt die konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) im Kontext der psychologischen Diagnostik.
• Stand der Präsentation ist der 14.11.2024, Version 3.0.0.
• Verantwortlich für die Präsentation ist Prof. Dr. Ulrich Schroeders.

Literatur zur Faktorenanalyse

• Kapitel zur Konfirmatorischen Faktorenanalyse von Gäde, J. C., Schermelleh-Engel, K., & Brandt, H. (2020) aus "Testtheorie und Fragebogenkonstruktion" (S. 615-659) von Moosbrugger & Kelava (Hrsg.), erschienen bei Springer.
• Dieses Kapitel ist online verfügbar.

Vorteile von Strukturgleichungsmodellen (SEM)

• SEM-Modelle haben in der wissenschaftlichen Forschung in der Regel hypothetische Natur.
• Die Forschung basiert auf theoretischen, uneindeutigen und nicht direkt messbaren Konstrukten.
• Beispiele für solche Konstrukte sind psychologische (Intelligenz, Motivation), soziologische (gruppenbezogene Menschenfeindlichkeit, kulturelle Einbettung) und politologische Konstrukte (Bürokratie, Demokratie).
• SEM berücksichtigen Messfehler in allen beobachteten Variablen (UV und AV).
• Regressionsanalysen ignorieren die Messfehler in den UV.
• SEM erlauben die Entwicklung, Schätzung und das Testen komplexer multivariater Modelle, da keine klare Trennung zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen notwendig ist.
• Theorien können empirisch getestet und zurückgewiesen werden (Falsifikation von Modellen).
• Die Annahme, dass ein beobachteter Wert den wahren Wert einer Person darstellt, wird bei (multiplen) Regressionsanalysen und log-linearen Modellen als "fraglich" betrachtet.
• Der Fokus liegt auf Items (Kovarianzen), nicht auf Personen (Abweichungsquadrate in Regressionen).
• Input ist eine Varianz-Kovarianzmatrix
• Die Schätzung von Standardfehlern ist einfach.

Grundbegriffe SEM

• Manifeste Variable: Ein beobachtbarer Indikator.
• Latente Variable: Ein hypothetisches Konstrukt wie Angst oder Intelligenz.
• Abhängige Variable: Erhält mindestens einen Pfad einer anderen Variablen (endogen).
• Unabhängige Variable: Emanent, erhält keinen Pfad (exogen).

Typen von SEM

• Pfadanalysenmodelle: Enthalten nur manifeste Variablen.
• Sie sind sinnvoll, wenn ohne Messfehler gemessen werden kann.
• Ein Spezialfall des SEM ist das Strukturmodell ohne Messmodell.
• Modelle konfirmatorischer Faktorenanalysen: Dienen zum Aufstellen von Messmodellen.
• Sie bilden den ersten Schritt in der Modellierung von Strukturgleichungsmodellen.
• Wenn mehr als ein Konstrukt vorhanden ist, sind alle latenten Variablen korreliert.
• Strukturelle Regressionsmodelle: Ähneln CFAs, nehmen aber latente Regressionen an.
• Sie können Theorien testen oder widerlegen.
• Latente Veränderungsmodelle: Untersuchen Veränderungen im Zeitverlauf.
• Der Fokus liegt auf Wachstum oder Abnahme in Längsschnittdaten.
• Beispiele hierfür sind Cross-Lagged-Panel-Analysen, Latent Growth Curve Models und Latent Change Score Models.

Konfirmatorische Faktorenanalyse

• Hierbei werden Beziehungen zwischen beobachteten Variablen und latenten Konstrukten analysiert.

Parameter im regressionsanalytischen Modell

• τᵢ = αᵢ + λᵢ · η, wobei λᵢ = 1
• yᵢ = τᵢ + εᵢ = αᵢ + λᵢ · η + εᵢ
• η (Eta): Latente Variable (z.B. Intelligenz)
• τ (Tau): Wahrer Wert eines Indikators
• α (Alpha): Intercept (Abzissenabschnitt)
• λ (Lambda): Steigung oder Faktorladung
• ε (Epsilon): Residual- oder Fehlerterm

Parameter im faktoranalytischen Modell

• τᵢ = αᵢ + λᵢ · η, wobei λᵢ = 1
• yᵢ = τᵢ + εᵢ = αᵢ + λᵢ · η + εᵢ
• η (Eta): Latente Variable (z.B. Intelligenz)
• τ (Tau): Wahrer Wert eines Indikators
• α (Alpha): Intercept (Abzissenabschnitt)
• λ (Lambda): Steigung oder Faktorladung
• ε (Epsilon): Residual- oder Fehlerterm

Essentiell τ-äquivalentes Modell

• Basierend auf der Gleichung Yᵢ = τᵢ + εᵢ können die beobachteten Variablen zerlegt werden.
• Yᵢ = beobachteter Wert
• τᵢ = wahrer Wert
• εᵢ = Messfehler/Residuum
• Das Modell essentiell τ-äquivalenter Variablen nimmt an, dass der wahre Wert aller Personen auf einer Subskala (τ₁) durch eine Konstante in Richtung des wahren Wertes einer anderen Subskala (τ₂) verschoben ist.
• τᵢ = τⱼ + αᵢⱼ, wobei Alpha eine Shifting-Konstante (= Intercept) ist.

Parameter im essentiell τ-äquivalenten Modell

• Anzahl zu schätzender Parameter: Yᵢ = αᵢ + η + εᵢ
• Gleichungssysteme:
  • Y₁ = α₁ + SCmath + ε₁
  • Y₂ = α₂ + SCmath + ε₂
  • Y₃ = α₃ + SCmath + ε₃
• Anzahl beobachteter Parameter:
  • Anzahl der Variablen = n
  • Anzahl der Kovarianzen + Anzahl der Varianzen: n * (n-1) / 2 + n = (n * (n+1))/2
  • Anzahl der Intercepts (= n) → n * (n-1) / 2 + 2n

Freiheitsgrade

• Modell: Yᵢ = αᵢ + η + εᵢ mit E(η) = 0
• Beobachtete Modellparameter: Var(Y₁), Cov(Y₂, Y₁), Var(Y₂), Cov(Y₃, Y₁), Cov(Y₃, Y₂), Var(Y₃)
• Geschätzte Modellparameter: Var(η + ε₁), Cov(η + ε₂, η + ε₁), Var(η + ε₂), Cov(η + ε₃, η + ε₁), Cov(η + ε₃, η + ε₂), Var(η + ε₃)
• 6 verfügbare Parameter
• 4 Parameter müssen geschätzt werden

Messmodelle

• Wenn mehrere Messungen eines Merkmals vorliegen, müssen die Messinstrumente gewissen Homogenitätsanforderungen genügen, um die Reliabilität bestimmen zu können.
• Diese Anforderungen sind in Messmodellen formalisiert.
• Messmodelle dienen dazu, systematische wahre Unterschiede von unsystematischen messfehlerbedingten Unterschieden zu trennen.

Genestete Struktur verschiedener Messmodelle

• τ-kongenerisch: τᵢ = αᵢ + λᵢ · η
• essentiell τ-äquivalent: τᵢ = αᵢ + η
• τ-äquivalent: τᵢ = αᵢ + η mit αᵢ = αⱼ
• essentiell τ-parallel: τᵢ = αᵢ + η mit Var(εᵢ) = Var(εⱼ)
• τ-parallel: τᵢ = αᵢ + η mit αᵢ = αⱼ und Var(εᵢ) = Var(εⱼ)

Ein- oder mehrdimensional?

• Diese Frage bezieht sich auf die Struktur der Daten und ob ein einzelner Faktor oder mehrere Faktoren die Variabilität erklären.
• Die Modellspezifikation erfolgt als Zeichenkette (String).
• Latente Regressionen werden mit (=~) dargestellt.
• Bibliotheken wie lavaan werden für die Analyse verwendet.
• Die cfa()-Funktion dient zur Modellspezifikation.
• Modelle können mit der summary()-Funktion angezeigt werden.

cfa()-Function

• Modelspezifikation
• Daten werden übergeben (Rohdaten, Varianz-Kovarianzmatrix, Korrelationsmatrix)
• Optionale Berücksichtigung der Mittelwertsstruktur
• Schätzer (Maximum Likelihood Robust)
• Standardisierte Parameterschätzungen

summary()-Function

• Fit-Objekt
• Standardisierte Parameter (Achtung: Standardfehler sind nicht standardisiert!)

cfa() Output – Parameterschätzung I

• lavaan 0.6-6 ended normally after 15 iterations
• Faustregel für die Beurteilung des Modellfits: x²/df ≤ 2 oder 3.

Parameterschätzung I

• Standardisierte Parameterschätzungen werden angezeigt.
• Estimate steht für die unstandardisierte Faktorladung.
• Std.Err ist der Standardfehler für die unstandardisierte Faktorladung.
• Std.lv ist die Faktorladung, standardisiert an der Varianz der latenten Variable.
• Std.all ist die vollständig standardisierte Faktorladung, sowohl latente als auch beobachtete Variablen sind standardisiert.
• Referenzwerte zur Orientierung: λ < .00 (negative Polung?), |λ| < .30 (zu gering), |λ| > .50 (OK), |λ| > .70 (gut), |λ| > .95 (problematisch).

Parameterschätzung II

• Zeigt Intercepts mit Estimate, Std.Err, z-value, P(>|z|), Std.lv und Std.all.
• Wenn Mittelwertsstruktur geschätzt ist, werden die Item-Intercepts mit den beobachteten Mittelwerten geschätzt.

Parameterschätzung III

• Zeigt die Varianzen der Variablen.

Modellpassung

• Model-Fit Indices dienen zur Beurteilung der Modellpassung.
• Absolut Fit Indices (RMSEA, SRMR, GFI, AGFI...) evaluieren, wie gut ein a priori spezifiziertes Modell die empirischen Daten reproduziert.
• Inkrementelle Fit Indices (CFI, TLI, NFI...) vergleichen das Zielmodell mit einem restriktiveren Baseline-Modell (oft ein Nullmodell, in dem alle Variablen unkorreliert sind).
• Höhe der Faktorladungen: Bei geringen Faktorladungen können die Fit Indices nicht sinnvoll interpretiert werden.
• Robustheit der Schätzung, SE der Parameter.
• Komplexität des Modells = Anzahl der zu schätzenden Parameter.
• Ergebnisse werden über das Argument fit.measures = TRUE in der summary-Funktion ausgegeben.

Modell Fit Index: x² Test Statistik

• x² Test Statistik: Die Multiplikation des Wertes der Diskrepanzfunktion mit der Stichprobengröße resultiert in einer näherungsweise x² verteilten Teststatistik.
• Je größer die Stichprobe, desto höher die statistische Power.
• Dies kann auch kleine Unterschiede zwischen angenommenen und beobachteten Kovarianzmatrizen aufdecken.
• Faustregel: x²/df ≤ 2 oder 3.

Evaluation der Modellpassung – 1-faktorielles Modell

• Hierbei werden verschiedene Modellgütekriterien betrachtet, um die Passung eines 1-faktoriellen Modells zu beurteilen.
• Comparative Fit Index (CFI)/Tucker-Lewis Index (TLI) ≥ .95
• Root Mean Square Error of Approximation: RMSEA ≤ .08
• Standardized Root Mean Square Residual: SRMR ≤ .10

Daumenregeln Modellfit

• x²-Wert: Guter Modellfit bei x²/df ≤ 2, akzeptabler Modellfit bei x²/df ≤ 3.
• RMSEA: Guter Modellfit bei RMSEA ≤ .05, akzeptabler Modellfit bei RMSEA ≤ .08.
• CFI: Guter Modellfit bei CFI ≥ .97 (homogene Items) oder CFI ≥ .95 (heterogene Items), akzeptabler Modellfit bei CFI ≥ .95 oder CFI ≥ .90.
• TLI: Guter Modellfit bei TLI ≥ .97 (homogene Items) oder TLI ≥ .95 (heterogene Items), akzeptabler Modellfit bei TLI ≥ .95 oder TLI ≥ .90.
• SRMR: Guter Modellfit bei SRMR < .05, akzeptabler Modellfit bei SRMR ≤ .10.

Model Fit – RMSEA

• Quantifiziert das Ausmaß, in dem das angenommene Modell das wahre Modell repräsentiert.
• Werte ≤ .05 indizieren gute Modellpassung

Model Fit – SRMR

• SRMR: Mittlere standardisierte Differenzen zwischen den Elementen der empirischen Kovarianzmatrix S und der modellimplizierten Kovarianzmatrix ∑.
• SRMR ist ein Maß dafür, wie gut die empirischen Kovarianzen durch die Modellparameter reproduziert werden können.
• Werte ≤ .05 indizieren gute Modellpassung

Modell Fit – CFI

• Das spezifizierte Modell wird mit dem Baseline-Modell (unabhängiges Modell) verglichen.
• Im Baseline-Modell wird für jede Variable nur die Varianz, aber keine weiteren Kovarianzen geschätzt.
• Werte ≥ .95 (heterogen) bzw. ≥ .97 (homogen) werden als Indikator für gute Modellpassung gewertet.

Modellimplizierte Varianz-Kovarianz-Matrix

• Die Matrix wird auf Basis der Modellparameter geschätzt.
• Im Idealfall ist die modellimplizierte Varianz-Kovarianz-Matrix identisch mit der beobachteten Varianz-Kovarianz-Matrix (komplette Reproduktion).
• Die modellimplizierte Varianz-Kovarianz-Matrix, die in lavaan angegeben wird, ist der Endpunkt des Konvergenzprozesses.

Residual-Varianz-Kovarianz-Matrix

• Um den Modelfit zu beurteilen, können die Residuen berücksichtigt werden.
• Residuen stellen die Differenz zwischen den modellimplizierten und den empirischen (Ko)varianzen dar.
• Standardisierte Residuen > 2.58 sind auf 1%-Niveau statistisch signifikant (ML Schätzer), abhängig von N

Modifikationsindices

• Modifikationsindices geben Hinweise darauf, wo Modellmisfit vorliegt.
• Die Modifikationsindices werden mit dem Befehl modindices=TRUE der summary()-Funktion oder separat erstellt.
• Spalte mi: Modifikationsindex.
• Spalte epc: Erwartete Werte der Parameteränderung.
• Spalten sepc.lv und sepc.all: Standardisierte erwartete Änderungen.
• sepc.all liefert häufig bessere Ergebnisse als mi (Whittaker, 2012).

Modellvergleich genesteter Modelle

• Anova wird genutzt um Modelle zu vergleichen

Bifaktormodelle

• Bifaktormodelle oder "nested factor models" stammen aus der Intelligenzforschung.
• In applied measurement, it's a common finding that psychological measures often have a dominant general factor capturing the commonality between all items, but also some evidence of multidimensionality.
• As a consequence, such "structural ambiguity leads to seemingly endless 'confirmatory' factor analytic studies, in which the research question is whether scale scores can be interpreted as reflecting variation on a single trait" (Reise, Moore, & Haviland, 2010, p. 544).

Akquieszenzmodell

• Hier werden die Zustimmungstendenzen berücksichtigt
• Die Faktorladungen der rekodierten Items werden auf -1 bzw. 1 fixiert.

Dieses Quiz behandelt wichtige Konzepte der Strukturgleichungsmodellierung (SEM). Themen umfassen beobachtbare vs. latente Variablen, Pfadanalysen, latente Veränderungsmodelle und konfirmatorische Faktorenanalysen. Testen Sie Ihr Wissen über SEM!