Vectores: Suma y Producto Escalar

Vectores

• Un vector posee magnitud, dirección y sentido.
• Gráficamente, un vector se representa con una flecha donde la longitud indica la magnitud, la dirección de la flecha la dirección del vector y la punta, el sentido.
• Se puede descomponer un vector en componentes horizontal (eje x) y vertical (eje y).

Suma de Vectores

• La suma vectorial resulta en un vector con la magnitud y dirección combinadas de los vectores originales.

Método Gráfico

• El origen del segundo vector se coloca en la terminación del primero, la resultante es el vector desde el origen del primero hasta la terminación del segundo.

Método Analítico

• Se suman las componentes horizontales y verticales de los vectores originales para obtener las componentes del vector resultante.

Producto Escalar

• El producto escalar de dos vectores es un escalar igual al producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo entre ellos: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.

Producto Vectorial

• Produce un vector perpendicular a los vectores originales.
• La magnitud del producto vectorial es el producto de las magnitudes por el seno del ángulo entre ellos: $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \hat{n}$.
• La dirección se determina con la regla de la mano derecha.

Ejercicios de Vectores

• Se pide calcular la suma, producto escalar y vectorial de $\vec{a} = (3, 4)$ y $\vec{b} = (5, -2)$.
• Se plantea un problema de un bote cruzando un río con velocidad de $10 m/s$, ancho del río de $100 m$ y velocidad de la corriente de $5 m/s$, y se pide calcular la velocidad resultante, el tiempo para cruzar el río y la distancia río abajo al llegar a la otra orilla.

Cinemática

• La cinemática se enfoca en el movimiento de los objetos sin considerar las causas.
• Los conceptos básicos en cinemática son: posición, velocidad y aceleración.
• La velocidad es la tasa de cambio de la posición con el tiempo.
• La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

• Un objeto se mueve en línea recta a velocidad constante.
• La velocidad se calcula con la fórmula: $v = \frac{x}{t}$

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

• El objeto se mueve en línea recta con aceleración constante.
• Fórmulas clave: $v = v_0 + at$, $x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$, $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$.

Caída Libre

• Un objeto cae verticalmente bajo la influencia de la gravedad.
• La aceleración debido a la gravedad es: $g = 9.8 m/s^2$

Tiro Parabólico

• Un objeto se lanza al aire con un ángulo.
• Las ecuaciones de posición son: $x = v_0 \cos \theta t$ y $y = v_0 \sin \theta t - \frac{1}{2}gt^2$

Ejercicios de Cinemática

• Calcular la distancia recorrida por un coche que viaja a $20 m/s$ durante 10 segundos.
• Calcular el tiempo que tarda en caer un objeto desde 100 metros.
• Calcular el alcance de un proyectil lanzado a $30 m/s$ con un ángulo de 30 grados.

Dinámica

• La dinámica estudia las causas del movimiento.
• Las leyes de Newton son fundamentales en la dinámica.

Leyes de Newton

• Primera ley (Inercia): Un objeto permanece en reposo o en movimiento uniforme a menos que una fuerza externa actúe sobre él.
• Segunda ley (Fuerza): La fuerza neta es igual a la masa por la aceleración: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.
• Tercera ley (Acción y Reacción): A cada acción corresponde una reacción igual y opuesta.

Tipos de Fuerzas

• Fuerza gravitatoria, fuerza normal, fuerza de fricción y tensión.

Trabajo

• Es el producto de la fuerza por la distancia en la dirección de la fuerza: $W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = F \Delta r \cos \theta$.

Energía

• Energía Cinética: $K = \frac{1}{2}mv^2$
• Energía Potencial: Energía potencial gravitatoria $U_g = mgh$ y energía potencial elástica $U_e = \frac{1}{2}kx^2$.

Teorema Trabajo-Energía

• El trabajo neto es igual al cambio en la energía cinética: $W_{neto} = \Delta K$.

Conservación de la Energía

• La energía total de un sistema aislado permanece constante: $E = K + U$.

Potencia

• Es la tasa a la que se realiza el trabajo: $P = \frac{W}{t} = \vec{F} \cdot \vec{v}$.

Ejercicios de Dinámica

• Calcular la aceleración de un bloque de 10 kg sobre una superficie horizontal con una fuerza de 20 N, dado un coeficiente de fricción de 0.2.
• Calcular la velocidad de un objeto justo antes de tocar el suelo después de caer desde 20 metros.
• Calcular la energía potencial elástica almacenada en un resorte con constante de 100 N/m estirado 0.1 metros.