Scalar Product of Vectors in Mathematics

Study Notes

Вектор — это абстрактная величина или понятие в геометрии и математике, описывающее направление и свойства изменяемых объектов. В частности, векторы используются для решения задач в механике, физике, химии и других дисциплинах науки, где важно учитывать направленность изменений характеристик твердого тела. Среди основных операций с векторами можно выделить сложение векторов, умножение вектора на число, простейшую геометрическую операцию перестановки координат компонент вектора без их знаков, и тождественную трансформацию, при которой все его компоненты меняют свои знаки.

Скалярное произведение двух векторов — это специальный случай круглой формы операции умножения векторов, который представляет собой общий вид умножения векторов на числа. Операция строится таким образом, чтобы были обеспечены два элемента:

Умножив скалярное произведение любых четырех векторов Л, M, N и O на какое-то целое число A, получилось бы столь же хорошо известным скалярным произведением четырех новых векторов, получающихся от них с помощью некоторого преобразования параллельного типа L' = AL, M'= AM, N' = AN, O' = AO;
Скалярное произведение трех простых векторов А, B и C равняется сумме произведений своих разностей (A - B) * (B - C) + (A - B)*(C - D), что дает возможность раскладывать векторные произведения на три независимых части, которые являются результатом действия одних линейных функциональных полей на единицу.

Скалярное произведение двух векторов делится на два вида: внутреннее и внешнее:

Внутреннее скалярное произведение. Это отношение между двумя векторами, принимающими только положительные значения. Если векторы перпендикулярны друг другу, внутреннее скалярное произведение становится равным нулю. Например, вектора и , являющиеся вершинами прямоугольного треугольника, имеют внутреннее скалярное произведение равное ½ * ac * sin(α).

Внешнее скалярное произведение. Существует способ рассмотрения векторов как элементов векторного пространства, когда они может браться также и в двойном произведении. Такой подход даёт возможность рассматривать внешнее скалярное произведение как дополнение к внутреннему скалярному произведению, так как последнее является обобщенной концепцией простого внутреннего произведения, которое возвращает числовое значение и работает с вектором.

Таким образом, скалярное произведение является определённым родом интерпретации векторов как элементов векторного пространства и предлагает инструмент для работы с ними в различных задачах и исследованиях.