Vecteurs: Direction, Sens et Norme

• Un vecteur est un objet mathématique défini par sa direction, son sens et sa norme.
• Les vecteurs sont souvent utilisés pour représenter des translations, des forces ou des vitesses.
• Un vecteur peut être représenté graphiquement par une flèche.
• La longueur de la flèche représente la norme du vecteur.
• La direction de la flèche représente la direction du vecteur.
• Le sens de la flèche indique le sens du vecteur.

Représentation d'un vecteur

• Un vecteur est souvent noté avec une lettre surmontée d'une flèche, par exemple $\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{AB}$.
• $\overrightarrow{AB}$ représente le vecteur qui va du point A au point B.
• Le point A est l'origine du vecteur et le point B est l'extrémité du vecteur.

Caractéristiques d'un vecteur

• Direction : C'est la droite sur laquelle se trouve le vecteur (ou toute droite parallèle).
• Sens : C'est l'orientation du vecteur sur cette droite (de A vers B).
• Norme : C'est la longueur du vecteur, notée $||\overrightarrow{AB}||$.

Vecteurs égaux

• Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
• Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (ou A, B, C, et D sont alignés).

Vecteur nul

• Un vecteur nul a une norme de zéro. Il est noté $\overrightarrow{0}$.
• Il n'a ni direction ni sens.
• $\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$ pour tout point A.

Coordonnées d'un vecteur dans un repère

• Dans un repère orthonormé (O, $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$), un vecteur $\overrightarrow{u}$ peut être défini par ses coordonnées (x, y).
• x est l'abscisse du vecteur et y est l'ordonnée du vecteur.
• On note $\overrightarrow{u}(x, y)$.
• Si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont (xB - xA, yB - yA).

Norme d'un vecteur à partir de ses coordonnées

• La norme d'un vecteur $\overrightarrow{u}(x, y)$ est donnée par $||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors $||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2}$.

Opérations sur les vecteurs

• Addition de vecteurs:
  • Graphiquement, la somme de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ peut être obtenue en plaçant l'origine de $\overrightarrow{v}$ à l'extrémité de $\overrightarrow{u}$. Le vecteur résultant $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ est le vecteur qui va de l'origine de $\overrightarrow{u}$ à l'extrémité de $\overrightarrow{v}$ (règle du parallélogramme ou relation de Chasles).
  • Analytiquement, si $\overrightarrow{u}(x_u, y_u)$ et $\overrightarrow{v}(x_v, y_v)$, alors $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} (x_u + x_v, y_u + y_v)$.
• Soustraction de vecteurs:
  • $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v})$.
  • Si $\overrightarrow{u}(x_u, y_u)$ et $\overrightarrow{v}(x_v, y_v)$, alors $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} (x_u - x_v, y_u - y_v)$.
• Multiplication d'un vecteur par un scalaire (nombre réel):
  • Si k est un scalaire et $\overrightarrow{u}(x, y)$, alors $k\overrightarrow{u}(kx, ky)$.
  • La norme de $k\overrightarrow{u}$ est $|k| \cdot ||\overrightarrow{u}||$.
  • Si k > 0, $k\overrightarrow{u}$ a la même direction et le même sens que $\overrightarrow{u}$.
  • Si k < 0, $k\overrightarrow{u}$ a la même direction mais un sens opposé à $\overrightarrow{u}$.

Vecteurs colinéaires

• Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires s'il existe un scalaire k tel que $\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}$.
• Si $\overrightarrow{u}(x_u, y_u)$ et $\overrightarrow{v}(x_v, y_v)$, alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si $x_u y_v - x_v y_u = 0$.
• Si deux vecteurs sont colinéaires, alors les droites qu'ils représentent sont parallèles.

Relation de Chasles

• Pour tous points A, B et C, on a $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Cette relation est fondamentale pour simplifier les expressions vectorielles.